Lineární algebra

(1.2)

Všimneme si, že jsme definovali operaci ⊕ sčítání objektů tak, že výsledek sčítání je zase uspořádaná

dvojice. Stejně součin  reálného čísla s uspořádanou dvojicí je zase uspořádaná dvojice, tedy prvek
množiny R2. Naše sčítání je tedy operace, do které vstupují dva prvky množiny R2 a vystupuje z ní
prvek množiny R2. Naše násobení je operace, do které vstupuje reálné číslo a prvek z R2 a vystupuje
z ní prvek z R2. Tuto skutečnost zapíšeme pomocí kartézského součinu množin:

⊕ : R2 × R2 → R2,

 : R × R2 → R2.

(1.3)

5

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

Všimneme si dále, že jsme definovali nové operace ⊕ a  prostřednictvím operací sčítání a násobení

reálných čísel, tj. prostřednicvím operací, jejichž vlastnosti jsou známy ze střední školy. Příkladem takové
vlastnosti je komutativní zákon (pro reálná čísla x a y platí: x + y = y + x). Naše nově definovaná operace
⊕ má také tuto vlastnost:

(a, b) ⊕ (c, d) = (c, d) ⊕ (a, b),

protože podle definice je (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d) a (c, d) ⊕ (a, b) = (c + a, d + b), ovšem dvě
uspořádané dvojice se rovnají, pokud se rovnají odpovídající složky. V tomto případě první složka první
dvojice a + b se rovná první složce druhé dvojice b + a, neboť pro sčítání reálných čísel platí komutativní
zákon. Podobně ověříme i druhou složku.

Uvědomíme si, že není vůbec automaticky zaručeno, že nově definované operace musejí tyto zákony

splňovat. Pokud bychom například definovali jiné sčítání dvou uspořádaných dvojic předpisem:

(a, b) ⊕ (c, d)

df

= (2a + d, b + c),

(1.4)

pak se dá snadno ukázat, že pro ⊕ není splněn komutativní zákon (ověřte si sami).