Lineární algebra

1.7. Věta. Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:

(1)

x + o = x

∀ x ∈ L,

(2)

α · o = o

∀ α ∈ R,

(3)

Nechť x ∈ L.

Je-li

α · x = o

a

α 6= 0,

pak

x = o.

Důkaz. Použijeme vlastnosti z definice 1.6. Pro přehlednost píšeme nad rovnítka číslo použité vlastnosti.

(1)

x + o

(7)

= x + 0 · x

(6)

= 1 · x + 0 · x

(5)

= (1 + 0) · x = 1 · x

(6)

= x.

(2)

α · o

(7)

= α · (0 · x)

(3)

= (α · 0) · x = 0 · x

(7)

= o.

(3)

x

(6)

= 1 · x =

 1

α

α

· x

(3)

=

1

α

· (α · x)

(z předpokladu)

=

1

α

· o

(vlastnost (2) věty 1.7)

=

o.

1.8. Poznámka. Ve vlastnostech (1) až (7) v definici 1.6 se pracuje se znaky „+ÿ a „·ÿ v souladu
s poznámkou 1.5 ve dvojím významu. Buď to jsou operace s prvky množiny L nebo operace s reálnými
čísly. Například ve vlastnosti (5) je první symbol „+ÿ použit ve významu sčítání na množině reálných
čísel, zatímco druhý symbol „+ÿ je použit ve významu sčítání na množině L. Jako cvičení zkuste o každé
použité operaci ve vzorcích (1) až (7) rozhodnout, jakého je druhu.

Prostor R2

1.9. Příklad. Ukážeme, že množina R2 z příkladu 1.3 se sčítáním a násobením skalárem podle defi-
nic (1.1) a (1.2) tvoří lineární prostor. Místo znaků „⊕ÿ a „ÿ budeme nadále používat znaky„+ÿ a „·ÿ.

Nejprve je třeba zjistit, zda operace „+ÿ a „·ÿ jsou skutečně definovány způsobem, jak požaduje

definice 1.6, tj. zda platí + : R2 × R2 → R2 a · : R × R2 → R2. To jsme ale už ověřili dříve, viz (1.3).

Dále zjistíme platnost vlastností (1) až (7) z definice 1.6. Vlastnost (1) jsme podrobně ověřovali