Lineární algebra

Definici sčítání uspořádaných dvojic tedy stačí zapsat takto: Pro všechna (a, b) ∈ R2, (c, d) ∈ R2 je

(a, b) + (c, d)

df

= (a + c, b + d). Přitom poznáme, že první znak „+ÿ v uvedeném vzorci označuje sčítání

uspořádaných dvojic a ostatní dva znaky „+ÿ znamenají sčítání reálných čísel.

V dalším textu budeme skoro vždy používat znaky „+ÿ a „·ÿ i pro nově definované operace, protože

podle typu operandů nemůže dojít k nedorozumění. Také znak násobení „·ÿ budeme někdy vynechávat,
jako jsme zvyklí jej vynechávat při zápisu násobení reálných čísel.

Definice
lineárního
prostoru

1.6. Definice. Lineárním prostorem nazýváme každou neprázdnou množinu L, na které je definováno
sčítání + : L × L → L a násobení reálným číslem · : R × L → L a tyto operace splňují pro každé
x ∈ L, y ∈ L, z ∈ L, α ∈ R, β ∈ R vlastnosti:

(1)

x + y = y + x

(komutativní zákon sčítání),

(2)

(x + y) + z = x + (y + z)

(asociativní zákon sčítání),

(3)

α · (β · x) = (αβ) · x

(asociativní zákon násobení),

(4)

α · (x + y) = α · x + α · y

(distributivní zákon pro sčítání prvků z L),

(5)

(α + β) · x = α · x + β · x

(distributivní zákon pro sčítání čísel),

(6)

1 · x = x

(vlastnost reálného čísla 1),

(7)

existuje o ∈ L, že pro každé x ∈ L je 0 · x = o

(existence nulového prvku).

6

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

Prvky lineárního prostoru nazýváme vektory. Reálnému číslu v kontextu násobení · : R × L → L říkáme
skalár. Prvku o ∈ L z vlastnosti (7) říkáme nulový prvek nebo nulový vektor.