Lineární algebra

1.4. Příklad. Označme P množinu všech polynomů, tedy funkcí p : R → R, které pro x ∈ R mají
hodnotu danou vzorcem:

p(x) = anx

n + a

n−1x

n−1 + · · · + a

1x + a0,

(an, an−1, . . . , a1, a0 jsou nějaká reálná čísla).

(1.5)

Na této množině polynomů definujeme sčítání ⊕ : P × P → P a násobení  : R × P → P takto: pro
každé p ∈ P , q ∈ P , α ∈ R je

(p ⊕ q)(x)

df

= p(x) + q(x)

∀x ∈ R,

(α  p)(x)

df

= α p(x)

∀x ∈ R.

Řečeno pečlivěji: v definici jsme zavedli novou funkci p ⊕ q : R → R tak, že jsme řekli, jakou bude tato
funkce mít hodnotu v každém bodě x jejího definičního oboru. Tuto hodnotu podle definice počítáme jako
součet hodnoty funkce p a hodnoty funkce q v bodě x. Tyto hodnoty jsou reálná čísla, takže sčítání funkcí
(nové sčítání nových objektů) vlastně definujeme pomocí sčítání reálných čísel (sčítání, které známe ze
střední školy). Podobně definujeme násobek funkce reálným číslem.

Dá se ověřit, že pro p ∈ P , q ∈ P , α ∈ R je p ⊕ q zase polynom a α  p je také polynom. Rovněž se

dá ověřit, že pro operaci ⊕ platí komutativní zákon.

1.5. Poznámka. V předchozích dvou příkladech jsme definovali na množině nějakých objektů sčítání
a násobení reálným číslem. Pro větší přehlednost jsme nově definované operace zapisovali do kroužku,
abychom je odlišili od operací sčítání a násobení reálných čísel. To ale není potřeba. Stačí používat
tytéž znaky, protože podle typu objektů, které do operace vstupují, okamžitě poznáme, jakou operaci
máme použít (zda nově definovanou nebo známou operaci na reálných číslech). Takové automatické
přizpůsobení operace podle typu operandů znají programátoři objektově orientovaných jazyků. Tam se
tomu říká „přetěžování operátorůÿ.