Lineární algebra

V exaktních teoriích se ke skupině nedefinovaných pojmů na začátku teorie připojuje i několik

tvrzení, která nelze prostředky teorie dokázat, ale pro důkazy dalších vět je nutné jejich platnost před-
pokládat. Takovým tvrzením se říká axiomy. V našem textu nebudeme teorii stavět jen na axiomech, ale
někdy použijeme spíše intuitivní přístup. Není nutné být za každou cenu přísně exaktní.

Pro matematické sdělení nových poznatků je obvykle členění textu na definice, věty a důkazy dosta-

čující. V této učebnici si navíc budeme ilustrovat novou problematiku na příkladech a občas prohodíme
nějakou poznámku. Dokladem toho je i tato poznámka 1.1.

1.2. Poznámka. V následující definici lineárního prostoru 1.6 se pracuje s množinami blíže nespecifi-
kovaných objektů. Jediné, co s těmi objekty umíme dělat, je vzájemně objekty sčítat a násobit objekt
reálným číslem. Přitom tyto operace (sčítání a násobení reálným číslem) je potřeba pro konkrétní mno-
žiny objektů definovat. Pro každou množinu objektů mohou tyto operace vypadat jinak. Skutečnost, že
není řečeno, jak objekty a operace s nimi konkrétně vypadají, může být pro některé čtenáře poněkud
frustrující. Proto před definicí uvedeme příklady množin objektů, které lze sčítat a násobit konstantou.

1.3. Příklad. Nechť R2 je množina všech uspořádaných dvojic reálných čísel, tj. R2 = {(a, b); a ∈ R,
b ∈ R} (symbolem R označujeme reálná čísla, složky uspořádané dvojice píšeme do kulatých závorek a
oddělujeme čárkou). Definujme sčítání dvou uspořádaných dvojic:

(a, b) ⊕ (c, d)

df

= (a + c, b + d)

(1.1)

a násobení uspořádané dvojice reálným číslem α ∈ R:

α  (a, b)

df

= (α a, α b).