Lineární algebra

∼

2 −2

1

0

3

4

0

0

1

1 −1 −3

0

0

0 −2

4 −2

0

0

0

0

0

0

∼

Třetí řádek ještě (spíše pro parádu) vynásobíme číslem −1/2.
Čtvrtý řádek nemusíme psát, protože tento řádek odpovídá rov-
nici 0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 + 0x5 = 0, která je zřejmě splněna
pro libovolná x1, x2, x3, x4, x5.

∼

2 −2

1

0

3

4

0

0

1

1 −1 −3

0

0

0

1 −2

1

Dostáváme matici, která má ve své „dolním levém koutěÿ nuly.
Přesněji: každý další řádek má zleva aspoň o jednu nulu více než
předešlý. To je cílem tzv. přímého chodu Gaussovy eliminační
metody, který jsme právě ukončili.

Naši matici koeficientů původní soustavy jsem převedli pomocí Gaussovy eliminační metody na matici
odpovídající nové soustavě, která má stejnou množinu řešení, jako původní. Stačí se proto dále zabývat
touto novou soustavou. Pro názornost si ji zde zapíšeme

2x1 − 2x2 + x3

+ 3x5 =

4

x3 + x4 − x5 = − 3

x4 − 2x5 =

1

2

Lineární algebra

Gaussova eliminační metoda

Každá rovnice umožní spočítat hodnotu jedné neznámé, pokud jsou dány hodnoty ostatních. Máme tři
rovnice o pěti neznámých, umíme tedy spočítat jen tři neznámé. Pomocí poslední rovnice budeme počítat
například x4, pomocí předposlední rovnice budeme počítat x3 a z první rovnice spočítáme například x1.
Ostatní neznámé nejsou těmito rovnicemi určeny a mohou nabývat libovolných hodnot. To dáme najevo
například takto: x5 = u, x2 = v, u ∈ R, v ∈ R. Nyní budeme počítat hodnoty ostatních neznámých
dosazovací metodou, postupujeme od poslední rovnice k první:

x5 = u
x2 = v

x4 − 2u =

1

⇒

x4 = 1 + 2u

x3 + (1 + 2u) − u = − 3

⇒

x3 = − 4 − u

2x1 − 2v + (−4 − u) + 3u =

4

⇒

x1 = 4 − u + v