Lineární algebra

Máme řešit následující soustavu lineárních rovnic

− 4x1 + 4x2 − x3 + x4 − 7x5 = −11

2x1 − 2x2 + x3

+ 3x5 =

4

4x1 − 4x2 + 5x3 + x4 + 7x5 = − 3

− 6x1 + 6x2 − 4x3 + x4 − 12x5 =

−7

Koeficienty této soustavy přepíšeme do matice a matici budeme upravovat pomocí tzv. kroků Gaussovy
eliminační metody, mezi které patří prohození řádků mezi sebou, vynásobení řádku nenulovou konstantou
nebo přičtení libovolného násobku nějakého řádku k jinému.

−4

4 −1

1

−7 −11

2 −2

1

0

3

4

4 −4

5

1

7

−3

−6

6 −4

1 −12

−7

∼

Nejprve potřebujeme sčítáním násobků řádků dostat nulu pod
první prvek v prvním sloupci. Aby se nám to lépe dělalo, pro-
hodíme první řádek s druhým.

∼

2 −2

1

0

3

4

−4

4 −1

1

−7 −11

4 −4

5

1

7

−3

−6

6 −4

1 −12

−7

∼

Pod dvojkou v prvním sloupci budeme postupně vytvářet nuly.
Vezmeme dvojnásobek prvního řádku a přičteme jej ke dru-
hému.

∼

2 −2

1

0

3

4

0

0

1

1

−1 −3

4 −4

5

1

7 −3

−6

6 −4

1 −12 −7

∼

Zatím nemáme v prvním sloupci pod dvojkou všude nuly. Bu-
deme si stále „pomáhatÿ násobky prvního řádku, který opí-
šeme. Minus dvojnásobek prvního řádku přičteme ke třetímu a
trojnásobek prvního řádku přičteme ke čtvrtému.

∼

2 −2

1

0

3

4

0

0

1

1 −1

−3

0

0

3

1

1 −11

0

0 −1

1 −3

5

∼

Nyní bychom měli vytvářet nuly ve druhém sloupci. To se
v tomto případě stalo (výjimečně) samo, takže se zaměříme
na třetí sloupec. Tam pod první jedničkou v druhém řádku vy-
tvoříme nuly takto: minus trojnásobek druhého řádku přičteme
ke třetímu a dále druhý řádek přičteme ke čtvrtému. První a
druhý řádek opisujeme.

∼

2 −2

1

0

3

4

0

0

1

1 −1 −3

0

0

0 −2

4 −2

0

0

0

2 −4

2

∼

Znovu se přesuneme na další sloupec (tentokrát čtvrtý) a vy-
tvoříme nulu pod minus dvojkou ze třetího řádku. K tomu stačí
sečíst třetí řádek se čtvrtým a výsledek napsat na místo čtvr-
tého řádku.