Lineární algebra

o dvou neznámých x, y:

2x − 5y =

16

− x + 2y = − 7

Ze střední školy asi znáte dvě metody, jak takové soustavy řešit: buď postupným dosazením, nebo náso-
bením rovnic konstantami a vzájemným sčítáním rovnic. Metoda postupného dosazení by mohla vypadat
takto:

2x − 5y = 16

⇒ 2(2y + 7) − 5y = 14 − y = 16 ⇒ y = −2

− x + 2y = − 7 ⇒ x = 2y + 7

⇒ x = 2(−2) + 7 = 3,

ale nemá s Gaussovou eliminační metodou moc společného. Pro rozsáhlejší soustavy (mnoho rovnic,
mnoho neznámých) se moc nehodí. Zaměříme se proto na druhou metodu „sčítání rovnicÿ. V této metodě
měníme postupně soustavu rovnic na jinou soustavu se stejným řešením. Změny soustavy, které nemění
řešení, jsou následující:

(1) Prohození rovnic mezi sebou.
(2) Vynásobení rovnice nenulovou konstantou.
(3) Přičtení libovolného násobku nějaké rovnice k jiné.

Pomocí těchto úprav převedeme soustavu rovnic na jinou soustavu, ze které je již řešení snadno

čitelné. Jednotlivé modifikace naší soustavy od sebe oddělujeme znakem „∼ÿ.

2x − 5y = 16

− x + 2y = − 7

∼

2x − 5y =

16

− 2x + 4y = − 14

∼

2x − 5y = 16
0x − y = 2

∼

2x − 5y = 16

y = − 2

∼

2x + 0y =

6

y = − 2

∼

x =

3

y = − 2

Nejprve jsme vynásobili druhou rovnici dvěma, pak jsme obě rovnice sečetli a výsledek napsali na místo
druhé rovnice, dále jsme druhou rovnici vynásobili číslem −1, pak jsme pětinásobek druhé rovnice přičetli
k první a nakonec jsme první rovnici vynásobili číslem 1/2. Z poslední soustavy čteme přímo řešení.

Gaussova eliminační metoda je vlastně shodná s právě použitou metodou „sčítání rovnicÿ. Navíc