Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
Řešení jsme zapsali pomocí dvou parametrů u, v, které mohou nabývat libovolných hodnot. Všimneme
si, že počet parametrů, kterými popíšeme řešení libovolné soustavy lineárních rovnic je roven počtu
neznámých mínus počet nenulových rovnic, které získáme po eliminaci Gaussovou eliminační metodou.
V našem případě: počet parametrů = 5 − 3. Zadaná soustava má sice čtyři rovnice, ale po eliminaci se
nám soustava redukovala na pouhé tři nenulové rovnice.
Pokud bychom se rozhodli například z první rovnice počítat x2, pak by neznámá x1 mohla nabývat
libovolných hodnot a výsledek by byl formálně zapsán poněkud jinak: x1 = w, x2 = −8 + 2u + 2w,
x3 = −4 − u, x4 = 1 + 2u, x5 = u, u ∈ R, w ∈ R. Vidíme tedy, že neexistuje jednoznačný zápis výsledku.
Oba zápisy popisují stejnou množinu řešení, každý trochu jiným způsobem.
Popis
metody
Nyní se pustíme do výkladu Gaussovy eliminační metody pro obecnou soustavu lineárních rovnic.
Nejprve vysvětlíme proceduru, kterou budeme v této metodě s prvky matice mnohokrát opakovat. Tato
procedura vytvoří nuly v s-tém sloupci pod nenulovým prvkem matice v r-tém řádku. Názorně:
•
· · ·
•
sloupec s
↓
•
•
· · ·
•
..
.
..
.
•
řádek r →
0
· · ·
0
a
•
· · ·
•
0
· · ·
0
b1
•
· · ·
•
..
.
..
.
..
.
0
· · ·
0
bk
•
· · ·
•
∼
•
· · ·
•
sloupec s
↓
•
•
· · ·
•
..
.
..
.
•
0
· · ·
0
a
•
· · ·
•
← řádek r
0
· · ·
0
0
•
· · ·
•
..
.
..
.
..
.
0
· · ·
0
0
•
· · ·
•
Tečkami jsou v tomto obrázku vyznačeny prvky matice, jejichž hodnoty nás momentálně nezajímají.
Prvek a musí být nenulový. Procedura vytvoření nul pod prvkem a se provede takto:
K1. Řádky 1 až r opíšeme beze změny.
K2. K řádku r + 1 přičítáme (−b1/a) násobek řádku r, k řádku r + 2 přičítáme (−b2/a) násobek řádku r,