Lineární algebra

Gaussova metoda upřesňuje postup, jak rovnice násobit a sčítat mezi sebou, abychom se cíleně dobrali
k výsledku i u rozsáhlých soustav mnoha rovnic s mnoha neznámými. Než tento postup popíšeme,
zamyslíme se nad tím, jak stručně můžeme soustavy rovnic zapisovat. V soustavě rovnic není při hledání
řešení podstatné, zda se neznámé jmenují x, y, z nebo třeba α, β, γ. Podstatné jsou jen koeficienty, které
násobí jednotlivé neznámé a samozřejmě ještě hodnoty na pravých stranách rovnic. Oddělíme tedy „zrno
od plevÿ a vypíšeme z naší soustavy jen to podstatné (koeficienty u neznámých a hodnoty pravých stran)
do tabulky čísel, které budeme říkat matice:

2 −5

16

−1

2 −7

Pokud chceme prohodit rovnice, v novém značení to znamená prohodit řádky matice. Vynásobení rovnice
nenulovou konstantou odpovídá vynásobení řádku matice touto konstantou. Konečně přičtení násobku
jedné rovnice k druhé je totožné s přičtením násobku jednoho řádku ke druhému. Postup řešení našeho
příkladu tedy můžeme zapsat takto:

2 −5

16

−1

2 −7

∼

2 −5

16

−2

4 −14

∼

 2 −5 16

0 −1

2

∼

 2 −5

16

0

1 −2

∼

 2 0

6

0 1 −2

∼

 1 0

3

0 1

−2

1

Lineární algebra

Gaussova eliminační metoda

Další příklad

Před výkladem Gaussovy eliminační metody na obecné soustavě lineárních rovnic si ukážeme postup

ještě na jednom příkladu, který bude mít čtyři rovnice a pět neznámých. Příklad je zvolen záměrně tak,
aby vycházela malá celá čísla, takže se nám to bude dobře počítat bez použití výpočetní techniky. To je
obvyklé v tzv. modelových příkladech, se kterými se setkáte u písemné části zkoušky a při řešení úloh ze
skript. Jakmile se ale dostanete k úlohám z praxe, budete postaveni před soustavy třeba s tisíci rovnicemi
a se zhruba stejným počtem neznámých. Na malá celá čísla budete muset zapomenout. Bez výpočetní
techniky se to pak řešit nedá. Pamatujte tedy, že řešení modelových příkladů ze skript není konečným
cílem naší teorie, ale jen pomůckou k pochopení rozsáhlejších souvislostí.