Lineární algebra

počet parametrů = počet neznámých celkem − počet rovnic po eliminaci

Spočítáme nejprve neznámou z poslední rovnice a výsledek dosadíme do ostatních rovnic. Pak spočítáme
další neznámou z předposlední rovnice atd. až se dostaneme k první rovnici. Tím máme vyjádřena všechna
řešení dané soustavy lineárních rovnic.

Příklad, kdy
soustava
nemá řešení

Příklad. Gaussovou eliminační metodou budeme řešit následující soustavu čtyř rovnic o čtyřech nezná-
mých α, β, γ, δ.

α + 2β +

3γ +

δ =

1

2α + 4β +

7γ + 7δ =

4

α

+

2γ

= − 2

3α + 7β + 10γ + 6δ =

7

Zapíšeme koeficienty soustavy a hodnoty pravých stran do matice a začneme tuto matici eliminovat
způsobem popsaným výše.

1

2

3

1

1

2

4

7

7

4

1

0

2

0

−2

3

7 10

6

7

(1)

∼

1

2

3

1

1

0

0

1

5

2

0 −2 −1 −1

−3

0

1

1

3

4

(2)

∼

1

2

3

1

1

0

1

1

3

4

0 −2 −1 −1

−3

0

0

1

5

2

(3)

∼

∼

1

2

3

1

1

0

1

1

3

4

0

0

1

5

5

0

0

1

5

2

(4)

∼

1

2

3

1

1

0

1

1

3

4

0

0

1

5

5

0

0

0

0

3

V úpravě (1) jsme vytvořili nuly pod jedničkou z prvního sloupce a prvního řádku. V úpravě (2) jsme
přehodili druhý řádek se čtvrtým v souladu s krokem G3 našeho algoritmu (na druhém řádku a druhém
sloupci totiž byl nulový prvek). V úpravě (3) jsme vytvořili nuly pod jedničkou z druhého řádku v druhém
sloupci. V poslední úpravě (4) jsme vytvořili nulu pod jedničkou v třetím sloupci z třetího řádku. Tím
máme matici v požadovaném tvaru. Pohledem na poslední řádek okamžitě vidíme, že soustava nemá
řešení.

4

1. Lineární prostor, grupa, těleso

1.1. Poznámka. O formě definice-věta-důkaz. V tomto textu narazíte na tři základní „slohové útvaryÿ:
definice, věta a důkaz. Vesměs každé solidní matematické sdělení používá tyto pojmy. Přitom je možné,
že s takto systematickým použitím pojmů definice, věta, důkaz se setkáváte poprvé. Proto si tyto pojmy
vysvětlíme.