Lineární algebra

soustavě, ale se stejnou množinou řešení, protože při úpravách jsme použili jen tyto elementární kroky:

(1) Prohození řádků matice.
(2) Pronásobení řádku nenulovou konstantou.
(3) Přičtení násobku řádku k jinému.
(4) Odstranění nulového řádku.

Diskuse po
převedení
matice

Již dříve jsme vysvětlili, že tím dostáváme modifikovanou matici odpovídající nové soustavě se

stejnou množinou řešení. Stačí se tedy zaměřit na tuto novou soustavu. Nejprve rozhodneme, zda soustava
má vůbec nějaké řešení. Pokud je poslední řádek ve tvaru:

(0

0

· · ·

0 | c),

c 6= 0

soustava nemá řešení. Tento řádek totiž odpovídá rovnici

0x1 + 0x2 + · · · + 0xn = c,

c 6= 0,

kterou nelze splnit pro žádná x1, x2, . . . , xn.

Pokud poslední řádek obsahuje nenulový prvek mezi koeficienty soustavy (vlevo od svislé čáry),

soustava má řešení. V takovém případě můžeme říci, kolik těch řešení bude: pokud má soustava (po
úpravě eliminační metodou) stejný počet rovnic, jako neznámých, má jediné řešení. Je-li počet rovnic
menší, než počet neznámých, je řešení nekonečně mnoho.

Počet rovnic po eliminaci nemůže nikdy přesáhnout počet neznámých, vyloučíme-li případ řádku

(0 · · · 0 | c), c 6= 0. Rozmyslete si, proč. Zadaná soustava může mít podstatně více rovnic než neznámých,
ale po eliminaci se v takovém případě zákonitě počet rovnic zmenší.

Má-li soustava řešení, pak pro každou rovnici rozhodneme, kterou neznámou budeme použitím této

rovnice počítat (v dané rovnici musí být tato neznámá násobena nenulovým koeficientem). V každé
rovnici je nejprve zleva skupina nulových koeficientů a pak existuje nějaký první nenulový koeficient.
Doporučujeme počítat tu neznámou, která je násobena tímto prvním nenulovým koeficientem. Neznámé,
které nebudeme počítat pomocí žádné rovnice, mohou nabývat libovolných hodnot. Takové neznámé dále
považujeme za parametry. Pro počet parametrů tedy platí: