Lineární algebra

v příkladu 1.3. Pokračujeme tedy vlastností (2). Pro každé a, b, c, d, e, f ∈ R platí:

(a, b) + (c, d)

 + (e, f ) = (a + c, b + d) + (e, f ) = (a + c) + e, (b + d) + f  =

= a + (c + e), b + (d + f )

 = (a, b) + (c + e, d + f ) = (a, b) + (c, d) + (e, f ).

Při úpravách jsme nejprve dvakrát použili definici (1.1), pak jsme v jednotlivých složkách využili toho,
že pro sčítání reálných čísel platí asociativní zákon a konečně jsme zase dvakrát použili definici (1.1).
Nyní dokážeme další vlastnosti. Pro každé a, b, c, d, α, β ∈ R platí:

(3)

α · β · (a, b)

 = α · β a, β b = α (β a), α (β b) = (α β) a, (α β) b = (α β) (a, b),

(4)

α · (a, b) + (c, d)

 = α · (a + c, b + d) = α (a + c), α (b + d) = (α a + α c, α b + α d) =

= (α a, α b) + (α c, α d) = α (a, b) + α (c, d),

(5)

(α + β) · (a, b) = (α + β) a, (α + β) b

 = (α a + β a, α b + β b) = (α a, α b) + (β a, β b) =

= α (a, b) + β (a, b),

(6)

1 · (a, b) = (1 a, 1 b) = (a, b),

(7)

dvojice (0, 0) splňuje: (0, 0) = 0 · (a, b), protože 0 · (a, b) = (0 a, 0 b) = (0, 0).

Použili jsme nejprve definice (1.1) a (1.2), pak jsme využili vlastnosti reálných čísel v jednotlivých složkách
dvojice. Nakonec jsme znovu použili definice (1.1) a (1.2).

Vidíme, že nulovým vektorem lineárního prostoru R2 je dvojice (0, 0). Podle konvence ze závěru