Lineární algebra

1.18. Příklad. Množina všech polynomů P z příkladu 1.14 je lineárním podprostorem množiny všech
funkcí FD z příkladu 1.13, kde volíme D = R. Množina Pn všech polynomů právě n-tého stupně z pří-
kladu 1.15 není lineárním podprostorem lineárního prostoru FD ani lineárního prostoru P .

1.19. Příklad. Množina P≤n všech polynomů nejvýše n-tého stupně je lineárním podprostorem line-
árního prostoru všech polynomů P i lineárního prostoru všech reálných funkcí FD. Je to dáno tím, že
(1) součtem polynomů nejvýše n-tého stupně dostáváme polynom nejvýše n-tého stupně a (2) vynáso-
bením polynomu nejvýše n-tého stupně reálným číslem dostaneme zase polynom nejvýše n-tého stupně.

1.20. Příklad. Uvažujme M ⊆ Rn, M = {(a, a, . . . , a); a ∈ R}. Předpokládáme tedy, že množina
M obsahuje takové n-tice, ve kterých se všechny složky vzájemně rovnají. Ukážeme, že M je lineární
podprostor lineárního prostoru Rn.

Stačí pro množinu M dokázat vlastnosti (1) a (2) z definice 1.17. Platí (1) součet dvou uspořádaných

n-tic, ve kterých se složky rovnají, je uspořádaná n-tice, ve kterých se složky rovnají. (2) vynásobením
uspořádané n-tice, ve které se složky rovnají, reálným číslem, dostáváme zase uspořádanou n-tici, ve
které se složky rovnají.

1.21. Příklad. Uvažujme množiny M ⊆ R3, N ⊆ R3 a S ⊆ R3, které jsou definovány takto:

M = {(x, y, z); x + 2y = 0, z libovolné },

N = {(x, y, z); 2x + y − z = 0},

S = {(x, y, z); 2x + y − z = 3}.

Ukážeme, že M a N jsou lineárními podprostory lineárního prostoru R3, zatímco S není lineárním
podprostorem lineárního prostoru R3.

Ověříme vlastnost (1) z definice 1.17: Nechť (x1, y1, z1) ∈ M a (x2, y2, z2) ∈ M . Pak platí x1+2y1 = 0