Lineární algebra

Množina UO s takto konstruktivně definovaným sčítáním a násobením reálným číslem tvoří lineární

prostor. Abychom toto tvrzení obhájili, musíme dokázat vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6. (1) u + v =
v +u, protože v obou případech doplňujeme na stejný rovnoběžník. (2) (u+v)+w = u+(v +w), protože
postupné doplnění úhlopříčky rovnoběžníku u, v a úsečky w na rovnoběžník vede ke stejnému výsledku,
jako když nejprve sestavíme úhlopříčku rovnoběžníku v, w a tu doplníme na rovnoběžník s úsečkou u
(udělejte si náčtrek). (3) α · (βu) = (α β) · u, protože velikost těchto úseček je stejná (pro získání velikosti
násobíme mezi sebou jen reálná čísla) a úsečky mají stejnou orientaci. (4) α · (u + v) = α · u + α · v,
protože příslušné rovnoběžníky pro sčítání jsou podobné a druhý je α krát větší než první. Proto též jeho
úhlopříčka bude α krát větší. (5) (α + β) · u = α · u + β · u, protože obě úsečky mají stejnou velikost
a orientaci (pro získání velikosti násobíme a sčítáme reálná čísla). (6) 1 · u = u, protože obě úsečky
mají stejnou velikost a orientaci. (7) 0 · u je vždy úsečka s nulovou velikostí, což je degenerovaná úsečka
začínající i končící v bodě O. Ta je tedy nulovým prvkem našeho lineárního prostoru.

Vidíme, že orientované úsečky s výše definovaným geometrickým sčítáním a násobením skalárem

můžeme v souladu s definicí 1.6 nazývat vektory. V kapitole deváté jim budeme říkat vázané vektory
(vázané bodem O).

1.25. Příklad. Nechť M ⊂ UO jsou jen takové úsečky, které leží ve stejné rovině, jako leží náš papír,
na který jsme v příkladu 1.24 nakreslili křížek. Vidíme, že M 6= UO, protože například úsečka nenu-
lové velikosti kolmá na náš papír neleží v M . Ukážeme, že množina M je lineární podprostor lineárního