Lineární algebra

příklad. Nechť M = {(a, 0); a ∈ R}, N = {(0, b); b ∈ R}. Je zřejmé, že M a N jsou lineárními
podprostory lineárního prostoru R2. Sjednocením těchto množin je množina uspořádaných dvojic, pro
které je první nebo druhá složka nulová. Vezmeme nyní (1, 0) ∈ M ∪ N a (0, 1) ∈ M ∪ N . Součet
(1, 0) + (0, 1) = (1, 1) je uspořádaná dvojice, která neleží ve sjednocení M ∪ N .

1.23. Příklad. Uvažujme podprostory M a N z příkladu 1.21. Podle věty 1.22 je také M ∩ N lineárním
podprostorem lineárního prostoru R3.

Prostor ori-
entovaných
úseček

1.24. Příklad. Zvolme jeden bod v prostoru, který nás obklopuje, a označme jej písmenem O. Uděláme to
třeba tak, že nakreslíme na papír křížek a prohlasíme jej za bod O. Dále s papírem nehýbáme. Uvažujme
všechny orientované úsečky, které začínají v bodě O a končí v nějakém jiném bodě v prostoru. Přidejme
k tomu „degenerovanouÿ úsečku, která začíná i končí v bodě O a označme množinu všech těchto úseček
znakem UO.

Definujme nyní sčítání + : UO × UO → UO ryze konstruktivně takto: Úsečky u ∈ UO, v ∈ UO

doplníme na rovnoběžník. Úhlopříčku, která začíná v bodě O a končí v protějším bodě rovnoběžníka,
prohlásíme za součet úseček u a v, tedy u + v. Dále definujme násobení skalárem · : R × UO → UO takto:
změříme nějakým měřítkem (pracujeme pořád se stejným měřítkem, jedno jakým) velikost úsečky u.
Tím dostáváme nezáporné reálné číslo. Toto číslo vynásobíme skalárem α a výsledek násobení označme
písmenem c ∈ R. Je-li c > 0, naneseme výslednou úsečku α · u na stejnou polopřímku, na které leží u
a velikost má c. Je-li c < 0, naneseme výslednou úsečku α · u na opačnou polopřímku a velikost bude
rovna |c|. Je-li c = 0 položme α · u rovnu degenerované úsečce, která začíná i končí v bodě O.