Lineární algebra

(3)

∀x ∈ G ∃y ∈ G : x  y = y  x = e (existence opačného/inverzního prvku y pro každý prvek x).

Pokud navíc platí

(4)

∀x, y ∈ G : x  y = y  x

(komutativní zákon),

pak grupu G nazýváme komutativní grupou. Z historických důvodů a z úcty k norskému matematikovi,
který rozpracoval teorii grup a bohužel zemřel mlád na zákeřnou nemoc ve věku 26 let, se komutativní
grupa nazývá též Abelova grupa.

1.32. Poznámka. Niels Abel mimo jiné pomocí teorie grup dokázal, že nelze pro obecný polynom stupně
vyššího než 4 najít vzorec na výpočet jeho kořenů z jeho koeficientů. Pro polynomy stupně 1, 2, 3 a 4
přitom takové vzorce existují. Pro stupeň 2 se jej žáci učí zpaměti: x1,2 = (−b ±

√

b2 − 4ac)/2a.

1.33. Příklad. Jednoprvková množina G = {e} s operací e  e = e je nejmenší možnou grupou.

1.34. Příklad. Množina R s operací sčítání tvoří grupu. Skutečně platí asociativní zákon pro sčítání
reálných čísel: (x + y) + z = x + (y + z), dále existuje neutrální prvek 0, pro který 0 + x = x + 0 = 0 a
konečně pro každé x ∈ R existuje y = −x tak, že x + y = y + x = 0. Navíc se jedná o grupu komutativní,
protože sčítání reálných čísel je komutativní.

Pokud operaci grupy značíme symbolem „+ÿ (jako v tomto příkladě), pak obvykle o prvku e z vlast-

nosti (2) mluvíme jako o neutrálním prvku a značíme ho symbolem „0ÿ (též nula, nulový prvek) a prvek
y z vlastnosti (3) nazývame opačný a značíme −x. Přičtení opačného prvku v komutativní grupě pak
nazýváme odečítání a místo a + (−b) píšeme a − b.