Lineární algebra

o = 0 · x = (β − β) · x = β · x + (−β) · x = γ · x + (−β) · x = (γ − β) · x.

Nyní máme splněny předpoklady vlastnosti (3) věty 1.7 (volíme α = γ − β). Dostáváme tedy x = o. To
je ale spor s předpokladem, že jsme vybrali prvek x jiný než nulový. Konečná množina obsahující aspoň
dva prvky tedy nemůže být lineárním prostorem.

Existuje tedy jednobodový lineární prostor a pak dlouho nic . . . a všechny ostatní lineární prostory

musejí mít nekonečné množství prvků.

1.28. Příklad. Ukážeme si jeden příklad poněkud exotického lineárního prostoru. Jedná se o množinu
kladných reálných čísel R+, na které je definováno „sčítáníÿ ⊕ : R+ × R+ → R+ a „násobeníÿ reálným
číslem  : R × R+ → R+ takto: pro x ∈ R+, y ∈ R+, α ∈ R je

x ⊕ y

df

= x · y,

α  x

df

= x

α,

kde znakem „·ÿ je míněno běžné násobení reálných čísel a xα je reálná mocnina o kladném základu.

V tomto příkladě jsme se pokorně vrátili ke kroužkování nových operací sčítání a násobení skalárem,

protože bychom je velmi těžko odlišovali od běžného sčítání a násobení reálných čísel. Nové sčítání vlastně
definujeme jako běžné násobení a nové násobení jako běžnou mocninu.

Aby R+ s operacemi ⊕ a  byl lineárním protorem, musí splňovat vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6.

Pro x ∈ R+, y ∈ R+, z ∈ R+, α ∈ R, β ∈ R je

(1)

x ⊕ y = x · y = y · x = y ⊕ x,

(2)

(x ⊕ y) ⊕ z = (x · y) · z = x · (y · z) = x ⊕ (y ⊕ z),

(3)

α  (β  x) = (β  x)