Lineární algebra

Důkaz. Nechť nejprve platí vlastnosti (1), (2), (3) z definice grupy 1.31. Označme a−1 inverzní prvek
k prvku a. Pak x = a−1  b řeší rovnici a  x = b, protože a  (a−1  b) = (a  a−1)  b = e  b = b.
Z podobných důvodů y = b  a−1 řeší rovnici y  a = b.

Nechť nyní platí asociativní zákon (1) a umíme řešit uvedené rovnice. Volme a ∈ G. Označme ea

řešení rovnice a  x = a, tj. platí a  ea = a. Ukážeme nejprve, že pro libovolné b ∈ G je b  ea = b. Nechť
y ∈ G řeší rovnici y  a = b. Pak platí b  ea = (y  a)  ea = y  (a  ea) = y  a = b. Vidíme tedy,
že řešení ea rovnice a  x = a nezávisí na volbě prvku a, takže stačí prvek ea označovat e. Podobně lze
ukázat, že také řešení rovnice y  a = a nezávisí na volbě prvku a. Označme toto řešení f . Nyní podobně
jako v důkazu věty 1.44 je f  e = f , protože e řeší a  e = a a platí f  e = e, protože f řeší y  a = a.
Takže e = f a toto je jednotkový prvek grupy.

Sestrojíme inverzní prvek k prvku x ∈ G. Nechť u řeší rovnici x  u = e a v řeší rovnici v  x = e.

Platí v = v  e = v  (x  u) = (v  x)  u = e  u = u, takže u = v je inverzní prvek k prvku x.

13

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

Pologrupa,
grupoid

1.46. Poznámka. Vzhledem k předchozí větě se v některé literatuře definuje grupa jen pomocí asocia-
tivního zákona a řešitelnosti rovnic (jen dvě vlastnosti). Pokud platí jen asociativní zákon a řešitelnost
rovnic není požadována, mluví se o pologrupě. Pokud je pouze dána operace  : G × G → G bez dal-
ších vlastností, mluví se v některé literatuře o grupoidu. Takže množina s operací je grupoid. Grupoid
s asociativním zákonem je pologrupa. Pologrupa s řešitelností rovnic je grupa.