Lineární algebra

než pm, kde p je prvočíslo a m přirozené číslo. Navíc operace na konečném tělese lze definovat jediným
možným způsobem (lišit se může jen způsob označení prvků).

1.65. Příklad. Uvažujme množinu všech uspořádaných trojic prvků ze Z2 indexovaných čísly. Nulová
trojice nemá žádný index a ostatní trojice mají přiřazeny indexy 0 až 6:

{(0, 0, 0)∗, (1, 0, 0)0, (0, 1, 0)1, (0, 0, 1)2, (1, 1, 0)3, (0, 1, 1)4, (1, 1, 1)5, (1, 0, 1)6}.

Prvky této množiny budeme sčítat tak, že si indexů nebudeme všímat a budeme sčítat jen uspořádané
trojice v aritmetice Z2. Například (1, 1, 0)3 + (0, 1, 1)4 = (1, 0, 1)6, protože je (1, 1, 0) + (0, 1, 1) = (1, 0, 1)
v aritmetice Z2.

Výsledek násobení kteréhokoli prvku s prvkem (0, 0, 0)∗ definujeme jako (0, 0, 0)∗. Jedná se o nulový

prvek tělesa. Násobení nenulových prvků definujeme tak, že si nevšímáme uspořádaných trojic, ale jen
indexů. Ty sečteme a provedeme operaci modulo 7. Například (0, 1, 1)4 · (1, 1, 1)5 = (0, 0, 1)2, protože
4 + 5 modulo 7 = 2. Dá se ukázat, že tento příklad splňuje axiomy tělesa. Obsahuje 23 prvků, takže se
jedná o příklad tělesa GF(23).

Jak již bylo řečeno, je (0, 0, 0)∗ nulový prvek. Rovněž je zřejmé, že (1, 0, 0)0 je jednotkový prvek

tohoto tělesa. Inverzní prvek například k (0, 0, 1)2 je (1, 1, 1)5, protože 2 + 5 modulo 7 = 0. Opačný
prvek k libovolnému prvku x je prvek x, protože v aritmetice Z2 je 1 + 1 = 0. Charakteristika tohoto
tělesa je 2.

Prosím čtenáře, aby se nesnažil hrubou silou ověřit platnost distributivního zákona tohoto tělesa (jde

to, ale není to příliš účelné) ani příliš nehloubal nad tím, proč například trojice (1, 1, 1) má index 5. Pro
odpovědi na tyto otázky je potřeba použít vlastnosti ireducibilních polynomů nad tělesem Z2 (obecně
nad tělesem Zp), což bohužel překračuje rámec tohoto úvodního textu.