Lineární algebra

2.8. Poznámka. Pokud bychom rozvedli pojem netriviální lineární kombinace podle definic 2.5 a 2.3,
můžeme říci, že vektory x1, x2, . . . , xn jsou lineárně závislé, pokud existují reálná čísla α1, α2, . . . , αn
tak, že aspoň jedno z nich je nenulové, a přitom platí

α1 · x1 + α2 · x2 + · · · + αn · xn = o.

18

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

Lineární
nezávislost
skupiny

2.9. Definice. Skupinu vektorů x1, x2, . . . , xn nazýváme lineárně nezávislou, pokud není lineárně závislá.
Stručně říkáme, že vektory x1, x2, . . . , xn jsou lineárně nezávislé.

2.10. Poznámka. Vektory jsou lineárně nezávislé, pokud (podle definic 2.7 a 2.9) neexistuje netriviální
lineární kombinace těchto vektorů, která je rovna nulovému vektoru. Jinak řečeno, jedině triviální lineární
kombinace je rovna nulovému vektoru. Při použití definice 2.5 můžeme říci, že vektory x1, x2, . . . , xn
jsou lineárně nezávislé, pokud z předpokladu α1 · x1 + α2 · x2 + · · · + αn · xn = o nutně plyne, že
α1 = α2 = · · · = αn = 0.

2.11. Poznámka. Ačkoli se vesměs používá stručná formulace: „vektory x1, x2, . . . , xn jsou lineárně
závislé/nezávisléÿ místo přesnějšího: „skupina vektorů x1, x2, . . . , xn je lineárně závislá/nezávisláÿ, je
potřeba si uvědomit, že stručná formulace může vést k nepochopení. Rozhodně se tím nechce říci, že
jednotlivé vektory jsou lineárně závislé/nezávislé (tj. x1 je lineárně závislý/nezávislý, x2 je lineárně
závislý/nezávislý atd.), ale jedná se vždy o vlastnost celé skupiny vektorů jako celku.

Pojem lineární závislosti a nezávislosti vektorů má v lineární algebře zásadní důležitost. Závislost