Lineární algebra

0, π

2 , π

 . V rovnici (2.1) se tedy omezíme na

α · sin(x) + β · cos(x) + γ · 4 = 0

pro x ∈

n

0,

π

2

, π

o

.

(2.2)

Po dosazení hodnot x dostáváme tři rovnice:

0 α +

β + 4 γ = 0,

α + 0 β + 4 γ = 0,

0 α −

β + 4 γ = 0.

Tato soustava má jediné řešení α = 0, β = 0, γ = 0 (zkuste si to ověřit třeba Gaussovou eliminační
metodou). Takže pokus se zdařil. Z rovnice (2.1) plyne (2.2) a z ní pak α = 0, β = 0, γ = 0. To podle
definice znamená, že vektory f, g, h jsou lineárně nezávislé.

2.15. Příklad. Uvažujme lineární prostor všech reálných funkcí definovaných na R a v něm tři funkce
f, g, h, které jsou zadané těmito vzorci:

f (x) = sin

2(x),

g(x) = 3 cos

2(x),

h(x) = 4

∀x ∈ R.

Ověříme, zda jsou tyto tři funkce lineárně nezávislé či závislé. Položíme jejich lineární kombinaci rovnu
nulové funkci:

α · sin

2(x) + β · 3 cos2(x) + γ · 4 = 0 ∀x ∈ R

a zjistíme, jakých hodnot mohou nabývat koeficienty α, β, γ. Jako v příkladu 2.14 zkusíme volit nějaké
tři hodnoty x. Po dosazení x = 0, x = π/2 a x = π dostáváme soustavu

3 β + 4 γ = 0,

α

+ 4 γ = 0,

3 β + 4 γ = 0.

Vidíme, že jedna rovnice je zde napsaná dvakrát, takže zbývají dvě rovnice o třech neznámých. Taková
soustava rovnic má nekonečně mnoho řešení, jedním z nich je například α = 12, β = 4, γ = −3. To nám
ale k závěru o lineární závislosti funkcí nestačí, protože my musíme najít netriviální kombinaci rovnou
nule pro všechna x ∈ R, nikoli jen pro tři vyvolené hodnoty. Výsledek ale napovídá, jaké by mohly být
koeficienty hledané netriviální lineární kombinace: