Lineární algebra

Základní
vlastnosti
lineární
(ne)závislosti

2.17. Věta. Nechť x1, x2, . . . , xn jsou prvky nějakého lineárního prostoru L. Pak platí:
(1) Lineární závislost či nezávislost vektorů x1, x2, . . . , xn se nezmění při změně pořadí těchto vektorů.
(2) Jestliže se mezi x1, x2, . . . , xn vyskytuje nulový vektor, pak jsou tyto vektory lineárně závislé.
(3) Jestliže se ve skupině vektorů x1, x2, . . . , xn některý vektor vyskytuje aspoň dvakrát, je tato skupina
vektorů lineárně závislá.
(4) Jestliže jsou vektory x1, x2, . . . , xn lineárně závislé a xn+1 ∈ L, pak jsou i vektory x1, x2, . . . , xn, xn+1
lineárně závislé.
(5) Jestliže jsou vektory x1, x2, . . . , xn lineárně nezávislé, pak jsou i vektory x1, x2, . . . , xn−1 lineárně
nezávislé.
(6) Samotný vektor x1 (chápaný ovšem jako skupina vektorů o jednom prvku) je lineárně nezávislý právě
tehdy, když je nenulový.

Důkaz. (1) Lineární kombinace vektorů x1, x2, . . . , xn nezávisí na jejich pořadí, protože sčítání vektorů
je podle definice 1.6 komutativní.

(2) Vzhledem k vlastnosti (1) stačí bez újmy na obecnosti předpokládat, že o = x1. Pak platí:

1 · o + 0 · x2 + 0 · x3 + · · · + 0 · xn = o,

což je netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru.

(3) Vzhledem k vlastnosti (1) stačí bez újmy na obecnosti předpokládat, že x1 = x2. Pak platí:

1 · x1 + (−1) · x2 + 0 · x3 + · · · + 0 · xn = (1 − 1) · x1 = o,

což je netriviální lineární kombinace rovna nulovému vektoru.

(4) Podle předpokladu existuje netriviální lineární kombinace α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn rovna