Lineární algebra

nulovému vektoru. Potom platí

α1 x1 + · · · + αn xn + 0 · xn+1 = o,

což je netriviální lineární kombinace vektorů x1, x2, . . . , xn, xn+1 rovna nulovému vektoru.

(5) Dokážeme to sporem. Budeme předpokládat negaci tvrzení věty (tj. že vektory x1, x2, . . . , xn−1

jsou lineárně závislé). Pak ale podle vlastnosti (4) musejí být lineárně závislé i vektory x1, x2, . . . , xn,
což je spor s předpokladem, že tyto vektory jsou lineárně nezávislé.

(6) Je-li x1 = o, pak je x1 podle vlastnosti (2) lineárně závislý. Předpokládejme nyní x1 6= o a

položme

α x1 = o.

Kdyby bylo α 6= 0, mohli bychom psát

x1 = 1 · x1 =

 1

α

α

· x1 =

1

α

(α x1) =

1

α

· o = o.

To je ale spor. Musí tedy být α = 0. To znamená, že pouze triviální lineární kombinace je rovna nulovému
vektoru, takže vektor x1 je lineárně nezávislý.

21

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

2.18. Poznámka. Vlastnost (4) předchozí věty nelze „obrátitÿ. Přesněji: z lineární závislosti vektorů
x1, x2, . . . , xn neplyne nic o lineární závislosti či nezávislosti vektorů x1, x2, . . . , xn−1. Může se třeba
stát, že vektory x1, x2, . . . , xn−1 jsou lineárně nezávislé a lineární závislost vektorů x1, x2, . . . , xn je
způsobena tím, že vektor xn je nulový. Může se ale také stát, že vektory x1, x2, . . . , xn−1 zůstávají
lineárně závislé.

2.19. Poznámka. Vlastnost (5) předchozí věty nelze „obrátitÿ. Přesněji: z lineární nezávislosti vektorů
x1, x2, . . . , xn neplyne nic o lineární závislosti či nezávislosti vektorů x1, x2, . . . , xn+1. Vektor xn+1 totiž
může být nulový, ale také může být takový, že vektory x1, x2, . . . , xn+1 zůstávají lineárně nezávislé.