Lineární algebra

množiny M .

Lineární obal skupiny vektorů x1, x2, . . . , xn značíme hx1, x2, . . . , xni. Lineární obal množiny M

značíme symbolem hM i.

2.30. Poznámka. Jsou-li x1, x2, . . . , xn vektory nějakého lineárního prostoru L, pak podle definice 2.29
je

hx1, x2, . . . , xni = {α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn; α1 ∈ R, α2 ∈ R, . . . , αn ∈ R}.

2.31. Příklad. Uvažujme lineární prostor R3. Najdeme lineární obal vektorů x = (1, 2, 3), y = (2, −1, 0).

Podle poznámky 2.30 je

h(1, 2, 3), (2, −1, 0)i = {α (1, 2, 3) + β (2, −1, 0); α ∈ R, β ∈ R} = {(α + 2β, 2α − β, 3α); α ∈ R, β ∈ R}.

2.32. Příklad. Jsou dány x = (1, 2, 3), y = (1, 0, 2), z = (−2, 1, 0). Ukážeme, že hx, y, zi = R3.

Množina lineárních kombinací prvků nějakého lineárního prostoru L je vždy podmnožinou L. Jde

tedy pouze o to ukázat, že R3 ⊆ hx, y, zi. Volme libovolný vektor (a, b, c) ∈ R3. Ukážeme, že (a, b, c) leží
v hx, y, zi. K tomu je potřeba najít lineární kombinaci vektorů x, y, z, která je rovna vektoru (a, b, c).
Hledejme tedy koeficienty α, β, γ, pro které platí

(a, b, c) = α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−2, 1, 0).

Po úpravě a porovnání jednotlivých složek dostáváme soustavu

α +

β − 2γ = a,

2α

+

γ = b,

3α + 2β

= c.

Například Gaussovou eliminační metodou zjistíme, že soustava má řešení pro všechna a, b, c ∈ R. Proto
(a, b, c) ∈ hx, y, zi.

Prvek lineár-
ního obalu

2.33. Poznámka. Zamysleme se nad tím, co to znamená, že z ∈ hM i. Existuje konečná podmnožina
K ⊆ M taková, že z ∈ hKi. Nechť K = {x1, x2, . . . , xn}. Skutečnost, že z ∈ hKi znamená, že existuje
nějaká lineární kombinace vektorů x1, x2, . . . , xn, která je rovna vektoru z.