Lineární algebra

pokud jsou vektory x1, x2, . . . , xn lineárně nezávislé.

Nekonečná množina vektorů M ⊆ L se nazývá lineárně nezávislá, pokud všechny konečné podmno-

žiny K ⊆ M jsou lineárně nezávislé.

23

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

2.28. Příklad. Nechť M = {1, x, x2, x3, . . .} je nekonečná podmnožina lineárního prostoru všech poly-
nomů P . Ukážeme, že M je lineárně nezávislá.

Podle definice 2.26 a poznámky za ní stačí ukázat, že každá konečná podmnožina polynomů

K = {x

k1 , xk2, . . . , xkn},

n ∈ N,

ki ∈ N ∪ {0} pro i ∈ {1, 2, . . . , n},

k1 < k2 < · · · < kn

je lineárně nezávislá. Položme tedy lineární kombinaci prvků množiny K rovnu nulovému polynomu:

α1 x

k1 + α

2 x

k2 + · · · + α

n x

kn = 0 ∀ x ∈ R

a ptejme se, co z toho plyne pro koeficienty α1, . . . , αn. Protože k1 < k2 < · · · < kn, odpovídají čísla
α1, . . . , αn vybraným koeficientům polynomu. Nulový polynom je ovšem pouze takový polynom, který má
všechny koeficienty nulové . Takže všechna čísla α1, . . . , αn musejí být rovna nule. Nulovému polynomu
se tedy rovná pouze triviální lineární kombinace, takže množina K je lineárně nezávislá.

Lineární
obal

2.29. Definice. Nechť L je lineární prostor. Lineární obal skupiny vektorů x1, x2, . . . , xn je množina
všech lineárních kombinací vektorů x1, x2, . . . , xn.

Lineární obal konečné množiny K ⊆ L, K = {x1, x2, . . . , xn} ztotožňujeme s lineárním obalem

skupiny vektorů x1, x2, . . . , xn.

Lineární obal nekonečné množiny M ⊆ L je sjednocení lineárních obalů všech konečných podmnožin