Lineární algebra

2.20. Příklad. Nechť x1, x2, . . . , xm jsou vektory z lineárního prostoru R

n. Ukážeme, že pokud m > n,

jsou nutně tyto vektory lineárně závislé.

Podle definice lineární závislosti hledejme netriviální lineární kombinaci, pro kterou

α1 x1 + α2 x2 + · · · + αm xm = o.

Rozepsáním tohoto požadavku do složek dostáváme n rovnic o m neznámých. Protože pravé strany
rovnic jsou nulové, soustava má určitě aspoň triviální řešení. Protože je v soustavě více neznámých než
rovnic existuje nekonečně mnoho řešení této soustavy. Mezi těmito řešeními je jen jediné triviální a
všechna ostatní jsou netriviální. Poznamenejme ještě, že matematicky korektnější argumentace k tomuto
příkladu vychází jako důsledek věty 2.56.

Poznamenejme, že příklad ukazuje důležitou vlastnost lineárních prostorů Rn: všechny lineárně

nezávislé skupiny vektorů mají počet vektorů menší nebo roven n.

Jeden vektor
je lineární
kombinací
ostatních

2.21. Věta. Nechť n ≥ 2. Vektory x1, x2, . . . , xn jsou lineárně závislé právě tehdy, když existuje index
r ∈ {1, . . . , n} takový, že vektor xr je roven lineární kombinaci ostatních vektorů.

Důkaz. Věty formulované ve tvaru ekvivalence (výrok A platí právě tehdy, když platí výrok B) se
obvykle dokazují ve dvou krocích. Nejprve dokážeme, že z A plyne B a pak dokážeme, že z B plyne A.

Dokazujme tedy nejprve, že z lineární závislosti vektorů x1, x2, . . . , xn plyne existence indexu r výše

uvedené vlastnosti. Z definice lineární závislosti víme, že existuje netriviální lineární kombinace rovna
nulovému vektoru, tj.

α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn =

n

X

i=1

αi xi = o,

(2.3)

a přitom aspoň jeden koeficient lineární kombinace je nenulový. Existuje tedy r ∈ {1, . . . , n} takové, že
αr 6= 0. Přičteme nyní vektor −αr xr k oběma stranám rovnice (2.3)