Lineární algebra

vektorů je možná názornější z pohledu následující věty 2.21, ovšem při ověřování lineární závislosti
abstraktních vektorů je definice 2.7 použitelnější. Má proto smysl definicím 2.7 a 2.9 věnovat náležitou
pozornost.

2.12. Příklad. Uvažujme lineární prostor R3 (viz příklad 1.11, n = 3). Jsou dány tři vektory z R3:

x = (1, 2, 3),

y = (1, 0, 2),

z = (−1, 4, 0).

Zjistíme z definice, zda jsou vektory x, y, z lineárně závislé či nezávislé. Podle poznámek 2.8 a 2.10 stačí
zjistit, jaké mohou být koeficienty α, β, γ, pokud položíme

α x + β y + γ z = o.

Dosazením do této rovnice dostáváme

α (1, 2, 3) + β (1, 0, 2) + γ (−1, 4, 0) = (0, 0, 0).

Zde jsme využili toho, že nulový vektor v R3 je roven trojici (0, 0, 0). Dále podle definice sčítání a
násobení skalárem na R3 dostáváme

(α + β − γ, 2 α + 4 γ, 3 α + 2 β) = (0, 0, 0).

Dvě uspořádané trojice se rovnají, pokud se rovnají jejich odpovídající složky. Musí tedy platit tyto
rovnice:

α +

β −

γ = 0,

2 α

+ 4 γ = 0,

3 α + 2 β

= 0.

Tato soustava má nekonečně mnoho řešení (zkuste si to ověřit třeba Gaussovou eliminační metodou).
Mezi těmito řešeními je jediné triviální, všechna ostatní jsou netriviální. Příkladem takového netriviálního
řešení může být třeba α = 2, β = −3, γ = −1, takže

2 (1, 2, 3) − 3 (1, 0, 2) − 1 (−1, 4, 0) = (0, 0, 0).

Existuje tedy netriviální lineární kombinace vektorů x, y, z, která je rovna nulovému vektoru, což podle
definice 2.7 znamená, že vektory x, y, z jsou lineárně závislé.

2.13. Příklad. V lineárním prostoru R3 jsou dány tři vektory z R3: