Lineární algebra

Nechť T je těleso. Uvažujme množinu uspořádaných n-tic prvků z tělesa T (označme ji T n) a

definujme na ni operace + : T n × T n → T n, · : T × T n → T n takto: pro každé (a1, . . . , an) ∈ T

n,

(b1, . . . , bn) ∈ T

n, α ∈ T je

(a1, . . . , an) + (b1, . . . , bn)

df

= (a1 + b1, . . . , an + bn),

α · (a1, . . . , an)

df

= (α · a1, . . . , α · an).

Snadno se dá ověřit, že množina T n s takto definovanými operacemi tvoří lineární prostor nad tělesem T .

16

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

1.70. Poznámka. Volíme-li za těleso T = Z2, je T

n podle předchozího příkladu diskrétní lineární

prostor, který je používán v teorii kódování. Jednotlivé vektory (tzv. binární slova) jsou uspořádané
n-tice jedniček a nul. Tento lineární prostor má celkem 2n různých vektorů.

1.71. Poznámka. V případě lineárního prostoru nad konečným tělesem dostáváme konečný lineární
prostor. V tomto případě tedy neplatí tvrzení poznámky 1.27. Můžete si všimnout, že toto tvrzení se
opíralo o skutečnost, že „reálných čísel je nekonečně mnohoÿ. Poznámka 1.27 zůstává v platnosti pro
lineární prostory nad nekonečnými tělesy.

17

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

2.1. Poznámka. Ačkoli jsme v předchozí kapitole uvedli desítky příkladů, které měly ilustrovat definici
lineárního prostoru, je možné, že smysl této definice se tím nepodařilo objasnit. Můžete se ptát, proč jsme
nuceni ověřovat u různých množin, zda jsou či nejsou při definování určitých operací sčítání a násobení
reálným číslem lineárními prostory. Neuvedli jsme totiž, že pokud nějaká množina je lineárním prostorem,
lze na ni zkoumat mnoho dalších vlastností a zavést plno užitečných pojmů, které jsou společné všem
lineárním prostorům.