Lineární algebra

Podle počtu prvků p se toto těleso označuje GF(p). Jiné značení Zp dává najevo, že se jedná o celá

čísla „modulo pÿ. Předchozí příklad 1.58 definuje konečné těleso Zp pro p = 2.

1.61. Definice. Charakteristika tělesa udává nejmenší kladný počet jedniček, jejichž součet dává nulu.
Tedy pokud je

Pλ

1 1 = 0 a λ je nejmenší kladné číslo s touto vlastností, pak těleso má charakteristiku λ.

Pokud tato vlastnost není splněna pro žádný počet jedniček, je charakteristika rovna ∞.

1.62. Příklad. Charakteristika tělesa reálných čísel je ∞. Charakteristika tělesa Zp je p.

1.63. Věta. Charakteristika tělesa je nekonečná nebo to je prvočíslo.

Důkaz. Sporem. Nechť pro charakteristiku λ platí λ = mn, m 6= λ, n 6= λ. Z distributivního zákona
plyne (

Pm

1 1) · (

Pn

1 1) =

Pmn

1

1 =

Pλ

1 1 = 0. Podle věty 1.57 musí být aspoň jedna suma v závorce rovna

nule, protože jejich součin je nulový. To je spor s tím, že λ je nejmenší počet jedniček, jejichž součet je
nulový.

1.64. Poznámka. Kromě GF(p), kde p je prvočíslo, existují konečná tělesa s počtem prvků pm, kde
p je prvočíslo, m je libovolná mocnina, značení: GF(pm). Jak jsme ukázali v příkladě 1.60, konstrukce
operací pro GF(pm) nemůže vycházet jen z myšlenky „modulo pÿ. Ve skutečnosti je konstrukce tělesa
GF(pm) výrazně komplikovanější. V následujícím příkladě je pro ilustraci popsáno těleso GF(23).

15

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

Z věty 1.63 plyne, že i tělesa GF(pm) musejí mít charakteristiku ve tvaru prvočísla. Kdybychom zde

měli prostor na podrobnější popis těles GF(pm), shledali bychom, že mají charakteristiku p.

Dá se dále ukázat, že pokud má mít těleso konečný počet prvků, pak tento počet nemůže být jiný