Lineární algebra

Vzhledem k tomu, že vlastnosti (1), (2) definice 1.6 přímo korespondují s vlastnostmi komutativní

grupy, stačí ověřit, že nám z této nové definice vyplyne vlastnost (7) definice 1.6, která jediná zde chybí.
Existence nulového vektoru je zajištěna jako existence neutrálního prvku o v grupě. Je potřeba ukázat,
že pro libovolný x ∈ L je vektor 0 · x roven neutrálnímu prvku o. K vektoru 0 · x ovšem existuje v grupě
prvek opačný − 0 · x. Ten přičteme k oběma stranám rovnice 0 · x = (0 + 0) · x = 0 · x + 0 · x. Na levé
straně dostáváme 0 · x + (− 0 · x) = o. Na pravé straně je 0 · x + 0 · x + (−0 · x) = 0 · x + o = 0 · x.
Porovnáním levé a pravé strany máme výsledek o = 0 · x.

1.43. Poznámka. Axiomy grupy v definici 1.31 explicitně neuvádějí, že v grupě existuje jen jediný
neutrální prvek a ke každému prvku existuje jen jediný prvek opačný. Následující věta ukazuje, že to
nicméně platí jako jednoduchý důsledek axiomů.

1.44. Věta. (A) Každá grupa má jen jediný neutrální/jednotkový prvek. (B) Ke každému prvku grupy
existuje jediný opačný/inverzní prvek.

Důkaz. (A) Předpokládáme dva neutrální prvky e1, e2. Musí platit e1 = e1  e2, protože e2 je neutrální.
Musí také platit e2 = e1  e2, protože e1 je neutrální. Takže e1 = e1  e2 = e2 a neutrální prvky se neliší.

(B) Nechť x ∈ G má dva inverzní/opačné prvky y1 a y2. Označme e jednotkový prvek. Pak platí:

y1 = e  y1 = (y2  x)  y1 = y2  (x  y1) = y2  e = y2, takže y1 = y2.

1.45. Věta. Nechť na neprázdné množině G je dána operace  : G × G → G, pro kterou platí asociativní
zákon (1) z definice grupy 1.31. Pak vlastnosti (2) a (3) z definice grupy jsou ekvivalentní s vlastností:
pro každé a, b ∈ G existují x, y ∈ G, které řeší rovnice a  x = b a y  a = b.