Lineární algebra

α = (xβ)α = xα·β = (α β)  x,

(4)

α  (x ⊕ y) = (x ⊕ y)

α = (x · y)α = xα · yα = (α  x) · (α  y) = (α  x) ⊕ (α  y),

(5)

(α + β)  x = x

α+β = xα · xβ = (α  x) · (β  x) = (α  x) ⊕ (β  x),

(6)

1  x = x

1 = x,

(7)

0  x = x

0 = 1 ∈ R+.

Z poslední vlastnosti vyplývá, že nulový prvek tohoto lineárního prostoru je číslo 1.

1.29. Poznámka. Následující text až do konce kapitoly je poněkud abstraknější povahy. Přitom se jeho
znalost nepředpokládá pro pochopení dalších kapitol. Pokud tedy čtenář nechce být hned v počátku
studia zahlcen pojmy o algebraických strukturách, může tento text přeskočit.

11

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

1.30. Poznámka. Reálná čísla jsou množina prvků, které umíme vzájemně sčítat a vzájemně násobit.
Přesněji, je to množina R, na které jsou definovány obvyklé operace + : R × R → R a · : R × R → R
s jistými vlastnostmi (asociativní zákon, distributivní zákon, atd.). Těmito vlastnostmi se budeme in-
spirovat a pokusíme se vybudovat abstraktní algebraickou strukturu, tzv. těleso. Jedním z možných
konkrétních příkladů tělesa pak samozřejmě budou reálná čísla. Jenomže kromě nich budeme nacházet i
jiné příklady těles. Začneme nejprve strukturou s jedinou operací.

Grupa

1.31. Definice. Množinu G, na které je definována operace  : G × G → G nazýváme grupou, pokud
pro tuto operaci platí:

(1)

∀x, y, z ∈ G : (x  y)  z = x  (y  z)

(asociativní zákon),

(2)

∃e ∈ G, pro které platí ∀x ∈ G : e  x = x  e = x

(existence neutrálního/jednotkového prvku),