Lineární algebra

12

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

1.39. Příklad. S další grupou se seznámíme ve třetí kapitole. Množina všech regulárních matic stejného
typu (n, n) (viz 3.51) s operací násobení matic tvoří příklad nekomutativní grupy.

1.40. Příklad. Množina čísel {0, 1, 2, . . . , k − 1} s operací a ⊕ b = a + b modulo k tvoří komutativní
grupu. Připomínáme, že „x modulo yÿ je zbytek při dělení čísla x číslem y. Neutrálním prvkem této
grupy je 0 a opačným prvkem k prvku a 6= 0 je prvek k − a. Samozřejmě, opačným prvkem k prvku
neutrálnímu je prvek neutrální, což ostatně platí v libovolné grupě.

1.41. Příklad. Lineární prostor se svou operací sčítání vektorů (podle definice 1.6) tvoří komutativní
grupu. Skutečně, asociativní zákon je postulován vlastností (2) v definici 1.6, neutrálním prvkem je
nulový vektor (viz vlastnost (1) věty 1.7) a opačný vektor k vektoru x je vektor −x = (−1) · x, protože

(−1) · x + x = (−1) · x + 1 · x = (−1 + 1) · x = 0 · x = o.

Konečně z vlastnosti (1) definice 1.6 plyne, že se jedná o grupu komutativní.

1.42. Poznámka. Obráceně, pomocí pojmu grupa můžeme významně zkrátit naší definici lineárního
prostoru 1.6:

Lineárním prostorem je množina L, která s operací + : L × L → L tvoří komutativní grupu. Dále

musí být na množině L definována operace · : R × L → L, s vlastnostmi ∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ L:

(A)

α · (β · x) = (αβ) · x,

(B)

α · (x + y) = α · x + α · y,

(C)

(α + β) · x = α · x + β · x,

(D)

1 · x = x.