Lineární algebra

14

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

Operaci „+ÿ definujeme: 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 0. Operaci „·ÿ definujeme jako

obvyklé násobení: 0 · 0 = 0 · 1 = 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1. Množina T = {0, 1} s takto zavedenými operacemi
tvoří těleso.

Skutečně, pro operaci „+ÿ platí asociativní zákon, 0 je neutrální prvek, opačný prvek k 0 je 0 a

opačný prvek k 1 je 1. Grupa T \ {0} vzhledem k násobení je jednoprvková a všechny vlastnosti grupy
zde platí zcela samozřejmě. Je rovněž splněn distributivní zákon.

Sčítání je v tomto tělese totéž co odečítání. Inverzní prvek k 1 je 1.
Tělesa s konečně mnoha prvky se z historických důvodů nazývají Galoisova tělesa. V našem příkladě

T = {0, 1} se tedy jedná o Galoisovo těleso se dvěma prvky.

Évariste Galois byl francouzský matematik, který bohužel zemřel mlád ve věku 20 let na následky

zranění v souboji. I jeho teorie dokazuje mimo jiné nemožnost algebraického popisu kořenů polynomů
stupně většího než 4. Tato teorie je známější než Abelova, ovšem byla zveřejněna o pět let později.

1.59. Poznámka. Chceme-li na dvouprvkové množině definovat operace sčítání a násobení tak, abychom
získali těleso, nemůžeme to udělat jinak, než v příkladu 1.58. Především 0 je neutrální prvek vzhledem
ke sčítání, takže podle vlastnosti (2) definice grupy 1.31 musí 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1. Dále množina
{1} musí být grupou vzhledem k násobení, takže musí 1 · 1 = 1. Dále musí platit 0 · a = a · 0 = 0, jinak
by nebyla splněna věta 1.57. Zbývá otázka, zda můžeme definovat 1 + 1 = 1. Nemůžeme, protože pak by
prvek 1 neměl prvek opačný.