Lineární algebra

Tyto vlastnosti a pojmy předpokládají pouze to, že vektory (tj. prvky nějaké blíže neurčené množiny)

umíme sčítat a násobit reálným číslem, a přitom tyto operace splňují vlastnosti (1) až (7) z definice 1.6.
Kdybychom tuto jednotící definici neměli, museli bychom například zvlášť zavádět pojmy lineární závis-
lost, báze a dimenze pro množinu orientovaných úseček, zvlášť pro množinu uspořádaných n-tic a zvlášť
pro množinu reálných funkcí. Až bychom třeba později zjistili, že můžeme kupříkladu nekonečné po-
sloupnosti reálných čísel sčítat a násobit skalárem, znovu bychom pro tuto množinu byli nuceni definovat
pojmy lineární závislost, báze a dimenze. Přitom k zavedení těchto pojmů je zapotřebí dokázat několik
tvrzení, která bychom tak museli dokazovat pro každou konkrétní množinu zvlášť. Snad každý uzná, že
to je docela zbytečná práce. Je přeci jen jednodušší ověřit, že nějaká množina tvoří lineární prostor a
okamžitě pro ni používat všechny další vlastnosti a pojmy, které se dozvíme v této kapitole.

2.2. Poznámka. Sčítání má podle definice 1.6 dva operandy. Když bychom chtěli sečíst třeba tři vektory
x + y + z, měli bychom uvést, v jakém pořadí budeme operace provádět, tj. zda provedeme (x + y) + z
nebo x + (y + z). Vlastnost (2) definice 1.6 nás ale od této povinnosti osvobozuje, protože zaručuje, že
oba případy povedou ke stejnému výsledku. Proto nebudeme v takovém případě nadále závorky uvádět
a například pro vektory x1, x2, . . . , xn budeme jejich součet zapisovat jednoduše: x1 + x2 + · · · + xn.

Dále budeme místo x+(−1)·y zapisovat stručně x−y. Tím vlastně máme zavedenu operaci odčítání