Lineární algebra

vektorů, ačkoli tato operace není v definici 1.6 vůbec zmíněna.

Abychom v textu odlišili vektory (tj. prvky nějakého lineárního prostoru) od reálných čísel, budeme

vektory označovat malými písmeny anglické abecedy a vždy je zvýrazníme tučně, tedy takto: x, y, a, x1
atd. V psaném textu se často vektory zvýrazňují zápisem šipky nad písmeno, podtržením písmene nebo
i jinak.

Lineární
kombinace

2.3. Definice. Nechť x1, x2, . . . , xn jsou vektory (tj. prvky nějakého lineárního prostoru). Lineární
kombinací vektorů x1, x2, . . . , xn rozumíme vektor

α1 · x1 + α2 · x2 + · · · + αn · xn,

kde α1, α2, . . . , αn jsou nějaká reálná čísla. Těmto číslům říkáme koeficienty lineární kombinace.

2.4. Příklad. Lineární kombinací vektorů x, y, z může být třeba vektor x+y +z (všechny tři koeficienty
jsou rovny jedné), nebo vektor 2x − y + 3,18z (koeficienty jsou čísla 2; −1; 3,18), nebo také vektor
α x + β y + γ z (koeficienty α, β, γ ∈ R jsme blíže neurčili).

Triviální
lineární
kombinace

2.5. Definice. Triviální lineární kombinace vektorů x1, x2, . . . , xn je taková lineární kombinace, která
má všechny koeficienty nulové, tj. 0x1 + 0x2 + · · · + 0xn. Netriviální lineární kombinace je taková lineární
kombinace, která není triviální, tj. aspoň jeden její koeficient je nenulový.

2.6. Věta. Triviální lineární kombinace je vždy rovna nulovému vektoru.

Důkaz. Podle vlastnosti (7) v definici 1.6 je každý sčítanec v triviální lineární kombinaci roven nulovému
vektoru a podle vlastnosti (1) věty 1.7 je i součet nulových vektorů roven nulovému vektoru.

Lineární
závislost
skupiny

2.7. Definice. Skupinu vektorů x1, x2, . . . , xn nazýváme lineárně závislou, pokud existuje netriviální
lineární kombinace vektorů x1, x2, . . . , xn, která je rovna nulovému vektoru. Stručně říkáme, že vektory
x1, x2, . . . , xn jsou lineárně závislé.