Lineární algebra

12 · sin

2(x) + 4 · 3 cos2(x) − 3 · 4 = 12 (sin2(x) + cos2(x)) − 12 = 0 ∀ x ∈ R.

Zde jsme využili vzorce sin

2(x) + cos2(x) = 1 pro všecha x ∈ R. Našli jsme tedy netriviální lineární

kombinaci, která je rovna nulové funkci na celém definičním oboru, a proto jsou funkce f, g, h lineárně
závislé.

2.16. Příklad. Nechť u, v, w jsou prvky nějakého (blíže nespecifikovaného) lineárního prostoru. Před-
pokládejme, že jsou lineárně nezávislé. Úkolem je zjistit, pro které a ∈ R jsou vektory

x = 2 u − v,

y = u + 3 v − 2 w,

z = v + a w

lineárně závislé.

20

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

Položíme tedy lineární kombinaci vektorů x, y, z rovnu nulovému vektoru a budeme zjišťovat, jaké

musí být koeficienty α, β, γ:

α x + β y + γ z = o.

Dosadíme:

α (2 u − v) + β (u + 3 v − 2 w) + γ (v + a w) = o

a po úpravách dostáváme

(2 α + β) u + (−α + 3 β + γ) v + (−2 β + a γ) w = o.

Protože podle předpokladů jsou vektory u, v, w lineárně nezávislé, musí být tato lineární kombinace
jedině triviální, tj. všechny koeficienty jsou nulové:

2 α +

β

= 0,

− α + 3 β +

γ = 0,

− 2 β + a γ = 0.

Například pomocí Gaussovy eliminační metody se můžeme přesvědčit, že soustava má jediné řešení
α = 0, β = 0, γ = 0 pro 7a + 4 6= 0. V takovém případě budou vektory x, y, z lineárně nezávislé. Jestliže
naopak 7a + 4 = 0, má soustava nekonečně mnoho řešení, mezi kterými se jistě najde i netriviální řešení.
Vektory x, y, z jsou tedy lineárně závislé pro a = −4/7.