Lineární algebra

u a v. Ukážeme, že pro libovolnou orientovanou úsečku x s počátkem v O existují reálná čísla α, β, γ
taková, že x = α u+β v +γ w. Leží-li x v rovině %, položíme γ = 0 a dále využijeme výsledku z (2). Nechť
tedy x neleží v rovině %. Označme X koncový bod úsečky x. Veďme bodem X rovnoběžku s úsečkou w.
Ta nutně protne rovinu % v nějakém bodě P . Podle (2) existují α, β ∈ R takové, že

−

−

→

OP = α u + β v.

Nechť c je vzdálenost bodu X od bodu P . Pokud mezi bodem X a koncovým bodem úsečky w leží rovina
%, volme γ = −c, jinak volme γ = c. Z definice sčítání orientovaných úseček pomocí rovnoběžníka je
vidět, že x =

−

−

→

OP + γ w = α u + β v + γ w.

2.25. Poznámka. Až dosud jsme pracovali s pojmem lineární závislost či nezávislost konečných skupin
vektorů. Skupina, na rozdíl od množiny, může obsahovat stejné prvky. V následující definici rozšíříme
pojem lineární závislost či nezávislost na konečné i nekonečné množiny vektorů.

Lineární
(ne)závislost
nekonečných
množin

2.26. Definice. Nechť L je lineární prostor. Neprázdná konečná množina vektorů K ⊆ L, K =
{x1, x2, . . . , xn} se nazývá lineárně závislá, pokud jsou vektory x1, x2, . . . , xn lineárně závislé.

Nekonečná množina vektorů M ⊆ L se nazývá lineárně závislá, pokud existuje konečná K ⊆ M ,

která je lineárně závislá.

Množina M ⊆ L se nazývá lineárně nezávislá, pokud není lineárně závislá.
Prázdnou množinu považujeme vždy za lineárně nezávislou.

2.27. Poznámka. Uvedeme si podrobněji, jak poznáme lineární nezávislost množin.

Neprázdná konečná množina vektorů K ⊆ L, K = {x1, x2, . . . , xn} se nazývá lineárně nezávislá,