Lineární algebra

2.38. Věta. Nechť L je lineární prostor a M ⊆ L je libovolná neprázdná množina. Pak P = hM i je
nejmenší lineární podprostor, pro který platí M ⊆ P .

Důkaz. Skutečnost, že P = hM i je lineární podprostor, ukazuje věta 2.37. Stačí ukázat, že P je nejmenší
podprostor.

Nechť Q je nějaký podprostor, pro který také platí M ⊆ Q. Podle věty 2.37 je hQi = Q. Dále

použijeme větu 2.34 na inkluzi M ⊆ Q a dostáváme P = hM i ⊆ hQi = Q.

25

Lineární algebra

2. Lineární závislost a nezávislost, lineární obal, báze, dimenze

Rozšíření
LN množiny

2.39. Věta. Nechť L je lineární prostor, M ⊆ L je lineárně nezávislá množina a z 6∈ hM i. Pak též
M ∪ {z} je lineárně nezávislá množina.

Důkaz. Důkaz povedeme sporem. Předpokládejme, že M ∪ {z} je lineárně závislá. Pak existuje konečně
mnoho prvků x1, x2, . . . , xn ∈ M takových, že α1 x1 + α2 x2 + · · · + αn xn + αn+1 z je netriviální
lineární kombinace rovna nulovému vektoru. Pro αn+1 = 0 zůstává netriviální lineární kombinace vektorů
x1, x2, . . . , xn rovna nulovému vektoru, neboli konečná podmnožina M je lineárně závislá. To je ve sporu
s tím, že M je lineárně nezávislá.

Pro αn+1 6= 0 je vektor z lineární kombinací vektorů x1, x2, . . . , xn (převedeme násobek vektoru z

na druhou stranu rovnosti a podělíme −αn+1, jako v důkazu věty 2.21). To je ve sporu s tím, že z 6∈ hM i.
Pro oba případy hodnot αn+1 dostáváme spor, takže M ∪ {z} nemůže být lineárně závislá.

Charakte-
ristika
LN množiny

2.40. Věta. Nechť L je lineární prostor. Množina N ⊆ L je lineárně nezávislá právě tehdy, když pro
všechny vlastní podmnožiny M ⊂ N , M 6= N platí hM i ⊂ hN i, hM i 6= hN i.