Lineární algebra

Abychom to dokázali, potřebujeme určitou představivost a zkušenosti s euklidovskou geometrií.

Připomeňme, že O značí společný počátek všech orientovaných úseček našeho lineárního prostoru. Zvolme
nyní libovolnou orientovanou úsečku x s počátkem v O, která leží v rovině určené úsečkami u, v. Ukážeme,
že existují α, β ∈ R tak, že x = α u + β v. Leží-li x na společné přímce s úsečkou u nebo na přímce
společné s úsečkou v, pak je x násobkem této úsečky a druhý koeficient hledané lineární kombinace je
nulový. Nechť tedy x neleží na žádné z těchto přímek. Koncový bod úsečky x označme X. Veďme bodem
X rovnoběžku s úsečkou u a rovnoběžku s úsečkou v. První z nich nutně protne přímku, na které leží
úsečka v, v nějakém bodě P a druhá protne přímku, na které leží úsečka u, v nějakém bodě Q. Zvolme
α, β ∈ R tak, aby α u =

−

−

→

OQ a β v =

−

−

→

OP (symbolem

−→

OA značíme orientovanou úsečku s počátkem

v bodě O a koncem v bodě A). Z definice sčítání orientovaných úseček pomocí rovnoběžníka vidíme, že
x = α u + β v. Udělejte si náčrtek.

(3) Leží-li tři usečky u, v, w ∈ UO ve společné rovině, pak jsou lineárně závislé, protože z (2) plyne,

že jedna z nich je lineární kombinací ostatních. Dále použijeme větu 2.21.

(4) Pokud u a v ∈ UO jsou lineárně nezávislé a w leží mimo rovinu danou úsečkami u, v, pak jsou

u, v, w lineárně nezávislé.

(5) Nechť u, v, w ∈ UO jsou lineárně nezávislé. Pak množina všech lineárních kombinací

α u + β v + γ w

vyplňuje celý lineární prostor UO.

Abychom to dokázali, potřebujeme opět určitou představivost. Nechť % je rovina určená úsečkami