Lineární algebra

Důkaz (pro hloubavé čtenáře). Předpokládejme nejprve, že N je lineárně nezávislá. Nechť M ⊂ N ,
M 6= N . Zvolme vektor z ∈ N takový, že z 6∈ M . Vektor z nelze vyjádřit jako lineární kombinaci žádné
konečné podmnožiny prvků množiny M . Kdyby to bylo možné, tj. kdyby existovala K ⊆ M konečná
a taková, že z by byl roven lineární kombinaci prvků množiny K, pak je podle věty 2.21 množina
K ∪ {z} ⊆ N lineárně závislá. To je ve sporu s předpokladem, že N je lineárně nezávislá. Platí tedy, že
z 6∈ hM i, a přitom z ∈ hN i.

Předpokládejme nyní, že N je lineárně závislá. Najdeme množinu M ⊂ N , M 6= N takovou, že

hM i = hN i. Protože N je lineárně závislá, existuje konečná množina vektorů K1 ⊆ N , která je lineárně
závislá. Podle věty 2.21 existuje prvek z ∈ K1 takový, že z lze zapsat jako lineární kombinaci ostatních
vektorů z K1. Zvolíme M = N \ {z} a dokážeme, že hM i = hN i. Je z ∈ hK1 \ {z}i ⊆ hN i. Podle
věty 2.35 vlastnosti (3) je hN i = hN ∪ {z}i = hM i.

2.41. Poznámka. Abychom vyjádřili nějaký lineární (pod)prostor jako lineární obal nějaké množiny,
je vhodné pro tento účel volit lineárně nezávislou množinu. Předchozí věta 2.40 nám ukazuje, že to je
„nejúspornější opatřeníÿ, protože odebráním jakéhokoli prvku z takové množiny způsobí, že lineární obal
už nebude pokrývat celý (pod)prostor. Žádné prvky takové množiny tedy nejsou při popisu (pod)prostoru
pomocí lineárního obalu zbytečné. To nás vede (kromě jiných důležitých důvodů) k definici báze lineárního
(pod)prostoru.

Báze

2.42. Definice. Báze lineárního prostoru L je taková podmnožina B ⊆ L, pro kterou platí