Lineární algebra

GF(p), Zp

1.60. Příklad. Na množině {0, 1, . . . , p −1} definujme operace „+ÿ a „·ÿ jako obvyklé sčítání a násobení,
ovšem na výsledek aplikujme proces „modulo pÿ. Takže například pro p = 5 pracujeme s množinou
{0, 1, 2, 3, 4} a platí 4 + 3 = 2, protože zbytek po dělení čísla 7 číslem 5 je 2. Nebo 4 · 4 = 1, protože
zbytek po dělení čísla 16 číslem 5 je 1.

Nechť nejprve p není prvočíslo, tj. je tvaru součinu p = m n. Pak m · n = 0 modulo p, a přitom čísla

m a n jsou nenulová. Podle věty 1.57 se nemůže jednat o těleso, protože součin nenulových čísel musí
v tělese vyjít jako číslo nenulové.

Nechť p je prvočíslo. Ukážeme, že M = {0, 1, . . . , p − 1} s operacemi „+, · modulo pÿ tvoří těleso.

Především M se sčítáním modulo p je komutativní grupa (viz příklad 1.40). Operace násobení modulo p
je asociativní, komutativní a jednotkovým prvkem je číslo 1. Distributivní zákon plyne z distributivního
zákona běžných operací „+ÿ a „·ÿ. Nejvíce práce dá nalezení inverzního prvku pro a ∈ M \ {0}. Prvek
a nechme pevný a uvažujme všechna čísla „ak modulo pÿ pro k ∈ {1, 2, . . . , p − 1}. Tato čísla jsou pro
různá k vzájemně různá (viz níže) a pokrývají tedy celou množinu {1, 2, . . . , p − 1}. Musí tedy existovat
takové k, že ak = 1 mod p. Toto k je inverzním prvkem k prvku a. V úvaze ještě chybí obhájit, že čísla
„ak modulo pÿ jsou pro různá k vzájemně různá. Předpokládejme, že existují čísla k1, k2 ∈ M \ {0},
k1 ≥ k2 taková, že ak1 = ak2 mod p, tj. a(k1 − k2) = mp pro nějaké m ≥ 0. Rovnost vydělíme číslem a.
Protože a < p a p je prvočíslo, existuje m1 ≥ 0, že po vydělení číslem a dostáváme k1 − k2 = m1p. Vlevo
je číslo menší než p, takže musí být m1 = 0, tj. k1 = k2.