Lineární algebra

Podgrupa

1.47. Definice. Nechť G je grupa s operací . Pokud G1 ⊂ G je sama o sobě grupou se stejnou operací
(tj. speciálně  : G1 × G1 → G1 a platí vlastnosti (1)–(3) definice grupy 1.31), nazýváme G1 podgrupou
grupy G.

1.48. Poznámka. Výše uvedenou definici uvádím hlavně proto, aby měl čtenář možnost ji porovnat
s definicí podprostoru 1.17 a shledal, že základní myšlenka definice podstruktury je pořád stejná. V pří-
padě ověřování podgrupy je kontrola asociativního zákona (1) zbytečná (je zaručen už ve vnější grupě),
ale vlastnosti x  y ∈ G1, e ∈ G1 a existence inverzního prvku v G1 jsou podstatné.

1.49. Příklad. Množina Z celých čísel s operací sčítání „+ÿ je podgrupou grupy R reálných čísel se
stejnou operací.

1.50. Příklad. Množina Z \ {0} celých nenulových čísel s operací násobení „·ÿ není podgrupou grupy
R \ {0} reálných čísel se stejnou operací, protože k číslům různým od −1 a 1 neexistuje na množině
Z \ {0} inverzní prvek. Na druhé straně se jedná o pologrupu, protože násobení je uzavřeno na nenulová
celá čísla a je samozřejmě asociativní.

Těleso

1.51. Definice. Těleso je množina T se dvěma operacemi obvykle označovanými + : T × T → T a
· : T × T → T , které mají následující vlastnosti:

(1) T s operací „+ÿ je komutativní grupa. Neutrální prvek této grupy je označen symbolem 0.
(2) T \ {0} s operací „·ÿ je komutativní grupa. Jednotkový prvek této grupy se značí symbolem 1.
(3) Operace „+ÿ a „·ÿ splňují distributivní zákon: a · (b + c) = a · b + a · c.

1.52. Poznámka. Někteří autoři v definici tělesa nepožadují komutativitu grupy vzhledem k násobení
a pokud je splněna, mluví o komutativním tělese. Existují příklady, kdy komutativita násobení není
splněna Důležitým příkladem jsou kvaterniony: čísla podobná komplexním, ale se třemi nezávislými
imaginárními jednotkami. Kvaterniony se užívají například při popisu 3D transformací v počítačové
grafice [26]. V našem textu budeme u těles vždy předpokládat komutativitu obou operací.