Lineární algebra

= (α · f )(x) + (α · g)(x) = (α · f + α · g)(x),

(5)

(α + β) · f

(x) = (α + β) f (x) = α f (x) + β f (x) = (α · f )(x) + (β · f )(x) = (α · f + β · f )(x),

(6)

(1 · f )(x) = 1 · f (x) = f (x),

(7)

(0 · f )(x) = 0 · f (x) = o(x), kde funkce o má pro všechna x ∈ D hodnotu 0.

Ačkoli tyto vzorce vypadají na první pohled jen jako „hraní se závorkamiÿ, musíme si uvědomit, že
rovnost funkcí zde dokazujeme na základě rovnosti jejich hodnot v každém bodě x ∈ D a že při důkazu
používáme nejprve rozepsání operací podle definic (1.6) a (1.7). Tím problém převádíme na sčítání a
násobení reálných čísel, kde jsou vlastnosti (1) až (7) zaručeny. Jako cvičení si zkuste přepsat tyto vzorce
tak, že odlišíte operace sčítání funkcí a násobení funkce skalárem od běžných operací „+ÿ a „·ÿ pro reálná
čísla. Použijte například symbolů ⊕ a , jako v příkladu 1.4.

Vidíme, že množina FD s definicí sčítání a násobení skalárem podle (1.6) a (1.7) je lineárním prosto-

rem. Funkce z FD jsme tedy podle definice 1.6 oprávněni nazývat vektory. Nulovým vektorem je v tomto
případě funkce, která má pro všechna x ∈ D nulovou hodnotu.

8

Lineární algebra

1. Lineární prostor, grupa, těleso

Prostor
polynomů

1.14. Příklad. Ukážeme, že množina P všech polynomů s definicemi sčítání a násobení skalárem podle
příkladu 1.4 tvoří lineární prostor.

Především součet dvou polynomů je polynom a skalární násobek polynomu je polynom, takže platí,

že + : P × P → P a · : R × P → P . To je ale vše, co potřebujeme dokázat. Ověřováním vlastností (1) až
(7) se nemusíme zdržovat, protože jsme definice sčítání a násobení polynomů převzali z prostoru funkcí
FD, o němž jsme dokázali v příkladu 1.13, že se jedná o lineární prostor (volíme D = R). Při ověřování
vlastností (1) až (7) bychom dělali vlastně to samé jako v příkladu 1.13, jen na podmnožině P ⊆ FD.