Lineární algebra

3.8. Poznámka. Protože řádky matice typu (m, n) jsou podle definice 3.1 prvky lineárního prostoru
Rn, umíme je sčítat, násobit reálným číslem, rozhodovat o jejich lineární nezávislosti, sestrojovat lineární
obaly, podprostory, hledat báze, dimenze apod.

3.9. Definice. Symbolem A ∼ B označujeme skutečnost, že matice B vznikla z matice A konečným
počtem kroků podle Gaussovy eliminační metody. Za krok Gaussovy eliminační metody je považováno
prohození řádků, pronásobení řádku nenulovou konstantou, přičtení násobku řádku k jinému, odstranění
nulového řádku nebo přidání nulového řádku.

Symetrie
relace „∼ÿ

3.10. Věta. Relace „∼ÿ je symetrická, tj. A ∼ B právě tehdy, když B ∼ A.

Důkaz. Stačí ukázat, že po provedení jednoho kroku podle Gaussovy eliminační metody se lze pomocí
dalších kroků podle Gaussovy eliminační metody vrátit k původní matici.

(1) Prohození dvou libovolných řádků mezi sebou. Stačí prohodit tytéž řádky mezi sebou ještě jednou

a máme původní matici.

(2) Vynásobení jednoho řádku nenulovým reálným číslem α. Stačí vynásobit tento řádek číslem 1/α

a dostáváme původní matici.

(3) Přičtení α-násobku nějakého řádku a k řádku b (řádek a se v tomto kroku opisuje). K původní

matici se pak vrátíme tak, že k právě změněnému řádku přičteme (−α)-násobek řádku a.

(4) Vynechání nebo přidání nulového řádku. Jestliže nulový řádek při přechodu k matici B vyne-

cháme, tak jej zas při návratu k matici A přidáme. Pokud jej při přechodu k matici B přidáme, pak jej
při návratu k matici A odebereme.

3.11. Poznámka. V některé literatuře se místo kroku (3) uvádí přičtení lineární kombinace ostatních
řádků ke zvolenému řádku b. Tento krok lze samozřejmě nahradit konečným opakováním kroku (3).