Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
1
2
3
4
5
2
3
4
4
7
1
1
1
3
4
3
5
7
8
12
∼
1
2
3
4
5
0
1
2
4
3
0
1
2
1
1
0
1
2
4
3
∼
1
2
3
4
5
0
1
2
4
3
0
0
0
3
2
= B
Snadno ověříme, že řádky matice B jsou lineárně nezávislé. Takže tyto řádky tvoří bázi lineárního
podprostoru hr: Bi = hr: Ai. Vidíme tedy, že dimhr: Ai = 3.
Hodnost
matice
3.15. Definice. Hodnost matice A (anglicky rank ) značíme hod(A) a definujeme hod(A) = dimhr: Ai.
3.16. Příklad. Matice A z příkladu 3.14 má hodnost 3.
3.17. Věta. Je-li A ∼ B, pak hod(A) = hod(B). Jinými slovy, Gaussova eliminační metoda nemění
hodnost matice.
Důkaz. Věta je jednoduchým důsledkem věty 3.13 a definice 3.15.
3.18. Věta. Hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Přesněji řečeno,
hodnost udává počet prvků takové množiny řádků, která je nejpočetnější, a přitom lineárně nezávislá.
Důkaz. Jak jsme již řekli v poznámce 2.65, báze podprostoru hr: Ai je nejpočetnější lineárně nezávislá
množina. Tedy hod A = dimhr: Ai = počet prvků báze lineárního prostoru hr: Ai.
3.19. Poznámka. Například ve skriptech [7] je hodnost matice definována jako maximální počet lineárně
nezávislých řádků matice. Pro důkaz věty 3.17 je v těchto skriptech vyvinuto poněkud větší úsilí, protože
se tento důkaz neopírá o pojmy lineární obal a o výsledky z kapitoly 2.0.
Trojúhel-
níkové
matice
3.20. Poznámka. Matice B v příkladu 3.14 je typickou ukázkou matice, která vznikne po ukončení
přímého chodu Gaussovy eliminační metody. Jedná se o matici, ve které každý následující řádek má
aspoň o jednu nulu v souvislé řadě nul (psané z leva) více, než řádek předchozí. Přitom matice neobsahuje
nulové řádky. Takovým maticím budeme říkat horní trojúhelníkové (nenulové prvky jsou jen v „pásmu
horního trojúhelníkaÿ).