Lineární algebra
Níže je uveden pouze náhled materiálu. Kliknutím na tlačítko 'Stáhnout soubor' stáhnete kompletní formátovaný materiál ve formátu PDF.
k ∈ {1, . . . , p}. Pak podle definic 3.34 a 3.3 platí
di,k =
n
X
j=1
(ai,j + bi,j) cj,k =
n
X
j=1
(ai,j cj,k + bi,j cj,k) =
n
X
j=1
ai,j cj,k +
n
X
j=1
bi,j cj,k,
35
Lineární algebra
3. Matice
což odpovídá prvkům matice A · C + B · C.
(3) Důkaz bychom provedli obdobně, jako v případě (2).
(4) Označme A = (ai,j), B = (bj,k) pro i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n}, k ∈ {1, . . . , p}. Platí
α
n
X
j=1
ai,j bj,k =
n
X
j=1
α ai,j bj,k =
n
X
j=1
(α ai,j) bj,k =
n
X
j=1
ai,j (α bj,k),
což dokazuje vzorec: (4).
(5) Označíme A = (ai,j), B = (bj,k), C = A · B = (ci,k), i ∈ {1, . . . , m}, j ∈ {1, . . . , n},
k ∈ {1, . . . , p}. Je tedy AT = (αj,i), B
T = (βk,j), kde αj,i = ai,j, βk,j = bj,k. Označme ještě součin
D = BT · AT = (dk,i). Podle definice násobení je
ci,k =
n
X
j=1
ai,j bj,k =
n
X
j=1
βk,j αj,i = dk,i,
takže DT = C, což dokazuje vzorec (5).
3.39. Příklad. Nechť A, B, C jsou čtercové matice. Spočítáme (A + B) · (B + C). Podle (3) ve větě 3.38
je (A + B) · (B + C) = (A + B) · B + (A + B) · C = A · B + B · B + A · C + B · C. Místo zápisu B · B
budeme užívat zkratku B2. Konečný výsledek je A · B + B2 + A · C + B · C.
Jiný příklad: (A + B)2 = (A + B) · (A + B) = (A + B) · A + (A + B) · B = A2 + B2 + A · B + B · A.
Tento výsledek obecně nelze zjednodušit, protože násobení matic není komutativní. Pouze tehdy, když
pro tyto matice platí A · B = B · A, můžeme psát výsledek ve tvaru A2 + 2 A · B + B2.