Lineární algebra

5.26. Poznámka. Co uděláme, pokud se nám dostanou do ruky dva zápisy řešení nějaké soustavy
lineárních rovnic, a přitom nemáme k dispozici původní soustavu a nemůžeme tedy dosazovat? Jak
v tomto případě poznáme, že oba zápisy popisují stejné řešení? Jsou dány třeba tyto zápisy:

v + hu1, u2, . . . , uki

?

= w + hg1, g2, . . . , gki

Nejprve ověříme lineární nezávislost vektorů u1, u2, . . . , uk a lineární nezávislost vektorů g1, g2, . . . , gk.
Dále zjistíme, zda jsou rovny lineární obaly. Ověříme, zda gi ∈ hu1, u2, . . . , uki, ∀i ∈ {1, . . . , k}. Jinými
slovy je třeba zjistit, zda gi se dá zapsat jako lineární kombinace vektorů u1, u2, . . . , uk. Tím máme
zaručenu rovnost lineárních obalů. Díky vlastnosti (3) věty 2.64 není třeba ověřovat ui ∈ hg1, g2, . . . , gki.
Nakonec zjistíme, zda obě partikulární řešení popisují stejnou množinu řešení třeba podle vlastnosti (2)
věty 5.18 tímto testem: v − w ∈ hu1, u2, . . . , uki.

C =

u1
u2

..

.

uk

g1
g2

..

.

gk

v − w

Ověřování gi ∈ hu1, u2, . . . , uki, ∀i ∈ {1, . . . , k} vede na k soustav line-

árních rovnic, což je poměrně pracné (pokud ovšem nejsou koeficienty lineární
kombinace snadno vidět díky přítomnosti nul ve složkách vektorů). Je proto ně-
kdy výhodnější použít větu 3.13. Podle této věty hodnost matice C zapsané zde
vpravo musí být rovna k. To je postačující pro rovnost množin řešení. Protože
pro velká k je matice C „příliš vysokáÿ, je někdy výhodné místo toho počítat
hodnost matice CT . Podle věty 3.31 dostaneme stejný výsledek, ale navíc šetříme
papírem a dalšími kancelářskými technologiemi.