Lineární algebra

2

0

0

1

2

1

3 −1

∼

−1 −3 1 7 −8 2 −2

0 −3 1 8 −5 0 −4
0

0 1 2

1 3 −1

.

Je hod C = 3, takže platí M = M1.

Soustavy se
čtvercovou
maticí

5.28. Poznámka. Je-li A čtvercová matice, pak je výhodné při řešení soustavy A x = b spočítat det A.

Pro det A 6= 0 je hod A rovna počtu neznámých, tj. matice A je regulární a soustava má jediné

řešení. Podle věty 4.37 existuje inverzní matice, takže po vynásobení rovnosti A x = b inverzní maticí
A−1 zleva máme okamžitě řešení této soustavy x = A−1 b. Navíc můžeme použít pro zjištění jednotlivých
složek řešení tzv. Cramerovo pravidlo (viz následující větu).

Pro det A = 0 je hod A menší než počet neznámých. Pokud má tato soustava podle Frobeniovy

věty 5.4 řešení, pak po eliminaci a odstranění nulových řádků dostáváme soustavu, která už nemá čtver-
covou matici. V tomto případě nezbývá nic jiného, než použít postup pro nalezení všech řešení, který byl
již vyložen dříve.

56

Lineární algebra

5. Soustavy lineárních rovnic

5.29. Věta (Cramerovo pravidlo). Nechť A je regulární čtvercová matice. Pak pro i-tou složku řešení
soustavy A x = b platí

αi =

det Bi

det A

,

kde matice Bi je shodná s maticí A až na i-tý sloupec, který je zaměněn za sloupec pravých stran.

Důkaz. Víme, že platí x = A−1 b. Podle důkazu věty 4.37 o existenci inverzní matice platí

A

−1 = (c

i,j ) =

Dj,i

det A

,

kde Di,j je matice doplňků k matici A.

Nechť bi jsou složky sloupce b. Podle definice maticového násobení je

αi =

n

X

j=1

ci,j bj =

n

X

j=1

Dj,i

det A

bj =

1

det A

D1,i b1 + D2,i b2 + · · · + Dk,i bk

=

det Bi

det A

.

V poslední rovnosti jsme využili větu o rozvoji determinantu matice Bi podle i-tého sloupce, viz po-
známku 4.33.