Lineární algebra

59

6. Více o lineárních prostorech konečné dimenze

6.1. Poznámka. V některých učebnicích, např. [7], se lineárním prostorům konečné dimenze říká vek-
torové prostory. V jiných učebnicích, např. [5], se pod pojmem vektorový prostor myslí obecný lineární
prostor třeba i nekonečné dimenze. Vzhledem k této terminologické nejednotě nebudeme vůbec pojem
vektorový prostor používat a budeme raději zdlouhavě mluvit o lineárních prostorech konečné dimenze.

6.2. Poznámka. Hlavním cílem této kapitoly je definice pojmu souřadnice vektoru vzhledem k bázi a
pojem matice přechodu. Než se do toho pustíme, zmíníme ještě jednu větu o dimenzi průniku a sjednocení
podprostorů. Věta 1.22 nám říká, že sjednocení dvou podprostorů nemusí být lineární prostor. Je proto
výhodné formulovat následující definici.

Spojení
prostorů

6.3. Definice. Nechť L je lineární prostor, M a N jsou jeho podprostory. Množinu hM ∪ N i nazýváme
spojením podprostorů M a N a značíme M ∨ N .

6.4. Poznámka. Podle věty 2.38 je M ∨ N nejmenší podprostor, který obsahuje všechny prvky z M i
N dohromady.

6.5. Věta. Nechť L je lineární prostor, M a N jsou jeho podprostory. Pro podprostor M ∨ N platí:

M ∨ N = {y + z; y ∈ M, z ∈ N }.

Důkaz. Je-li x ∈ {y+z; y ∈ M, z ∈ N }, tj. x se dá rozepsat na součet prvku z M a prvku z N , pak podle
definice lineárního obalu je x ∈ hM ∪ N i = M ∨ N . To dokazuje inkluzi {y + z; y ∈ M, z ∈ N } ⊆ M ∨ N .

Je-li x ∈ M ∨ N = hM ∪ N i, pak podle definice lineárního obalu existuje konečně mnoho prvků z M

a konečně mnoho prvků z N takových, že x je lineární kombinací těchto prvků. Tuto lineární kombinaci
rozdělíme na součet násobků prvků z M a součet násobků ostatních prvků (tedy prvků z N ). První
součet označíme y a druhý z. Protože M a N jsou podprostory, je podle věty 2.37 hM i = M , hN i = N ,
takže lineární kombinace prvků z M leží v M a podobně pro N . Máme tedy y ∈ M , z ∈ N . Protože
x = y + z, je x ∈ {y + z; y ∈ M, z ∈ N }. To dokazuje obrácenou inkluzi.